第五节空间向量及其运算和空间位置关系突破点一空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc2
两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0
()(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．()(3)空间中任意两非零向量a，b共面．()(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c
()(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6
