教案18函数的单调性一、课前检测1.下列函数中，满足“对,当时，都有”的是（B）A．B．C．D．2.函数和的递增区间依次是（C）A．B．C．D．3.已知函数在内单调递减，则的取值范围是（C）A．B．C．D．二、知识梳理1.函数的单调性：一般地，设函数的定义域为，区间IA，如果对于区间内的任意两个值，当时都有，那么就称函数在区间上是单调()函数，区间称为的()区间.解读：2.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法：（2）图象法：（3）导数法：（4）利用复合函数的单调性：解读：3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；解读：4.求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等解读：三、典型例题分析用心爱心专心1例1求证：1()fxxx在[1,)上是增函数.答案：略变式训练：对于给定的函数，有以下四个结论：①的图象关于原点对称；②在定义域上是增函数；③在区间上为减函数，且在上为增函数；④有最小值2。其中结论正确的是.答案：①③④小结与拓展：对“对勾函数”的认识。例2已知函数)0(,4)3()0(,)(xaxaxaxfx．满足对任意的21xx都有0)()(2121xxxfxf成立，则a的取值范围是（A）A．]41,0(B．)1,0(C．)1,41[D．)3,0(变式训练：已知函数1,0()ln(1),0xexfxxx,若2(2)(),fxfx则实数x的取值范围是．解析：()fx在R上是增函数，由题得22xx，解得21x小结与拓展：判断函数单调性的基本方法是定义法。例3（1）函数的递增区间为___________；答案：（2）函数的递减区间为_________。答案：用心爱心专心2变式训练1：求函数的单调区间；答案：递增区间为；递减区间为变式训练2：已知在[0,1]上是减函数，则实数的取值范围是＿＿＿＿。解：题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴∴1＜a＜2.小结与拓展：复合函数单调性按照“同增异减”的法则来判定例4函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数.（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜34,故解集为（-1,34）.小结与拓展：判断抽象函数单调性的基本方法是定义法，关键是根据条件判断的符号，需要设法构造出的因式。变式训练：已知定义在区间上的函数满足，且当时，，（1）求的值；（2）判断的单调性；（3）若，解不等式。用心爱心专心3答案：（1）令可得；（2）任取且则，所以，在区间上单调递减；（3）由，由单调递减，解的：或四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思（不足并查漏）：用心爱心专心4
