第1课时指数函数的性质与图像课标解读课标要求核心素养1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法.(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质.(重点)1.通过指数函数概念的学习,培养数学抽象的核心素养.2.借助指数函数的图像与性质的学习,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,依此类推.问题1:1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x次得到多少个细胞?答案22=4个,2x个.问题2:分裂多少次可得到16个呢?如何求解?答案设分裂y次,由2y=16,得2y=24,解得y=4.1.指数函数的定义一般地,函数①y=ax称为指数函数,其中a为②常数,a>0且a≠1.思考:指数函数中为什么规定a>0且a≠1?提示①如果a=0,那么当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么x=12,14,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么y=1x是一个常量,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1.2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像和性质a>10
0时,④y>1;当x<0时,⑤00时,⑥01单调性在R上是⑧增函数在R上是⑨减函数探究一指数函数的概念例1(易错题)函数y=(a-2)2ax是指数函数,则()A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a≠1易错辨析:忽视指数函数对底数、系数的要求致误.要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件.答案C解析由指数函数的定义知{(a-2)2=1,a>0,a≠1,解得a=3.易错点拨判断函数是指数函数时需抓住四点(1)底数是大于0且不等于1的常数.(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上.(3)ax的系数必须为1.(4)等号右边不是多项式,如y=ax+1(a>0且a≠1)不是指数函数.1.(1)若函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,则f(x)=.(2)已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值范围是.答案(1)3x(2)(12,1)∪(1,+∞)解析(1)由题意设f(x)=ax(a>0且a≠1),则f(2)=a2=9,所以a=3,所以f(x)=3x.(2)由题意可知{2a-1>0,2a-1≠1,解得a>12且a≠1,所以实数a的取值范围是(12,1)∪(1,+∞).探究二指数函数的图像例2(1)①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的函数图像如图所示,则a,b,c,d与0和1的关系是()A.00,且a≠1)满足f(1)>1,若函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(2,5]C.(1,2)D.(1,5]答案(1)B(2)B解析(1)由指数函数的图像可知,当底数大于1时,函数为增函数,并且底数越大图像上升得越快,因此得到c>d>1;当底数大于0且小于1时,函数为减函数,并且底数越大图像下降得越慢,因此得到1>a>b>0,所以01,所以a-1>1,即a>2,因为函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,所以g(0)=a1-1-4≤0,所以a≤5,所以a的取值范围是(2,5].思维突破处理指数函数图像问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图像过定点(0,1).(2)巧用图像变换:函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).2.(1)(多选)在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax,y=x+a的图像,其中可能正确的是()(2)函数y=a-|x|(01时,函数y=ax单调递增,当01,故当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数有最小值,最小值为1,故选A.探究三求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例3求函数y=0.31x-1的定义域、值域.解析由x-1≠0得x≠1,所以函数的定义域为{x|x≠1}.由1x-1≠0得y≠1,所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}.思维突破指数函数y=ax与y=f(x)的复合方式主要是y=af(x)和y=f(ax).函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,求与指数函数有关的函数的值域时,要达到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.3.(1)(变条件)函数改为y=3x1+3x,求此函数的定义域、值域;(2)(变条件)函数改为y=4x-2x+1,求此函数的定义域、值域.解析(1) 对一切x∈R,3x...
