微专题二数列通项公式的常用求法一、累加法、累乘法例1已知数列{an}满足an＋1＝an＋2·3n＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝3n＋n－1解析由an＋1＝an＋2·3n＋1，得a2＝a1＋2×31＋1，a3＝a2＋2×32＋1，a4＝a3＋2×33＋1，…，an＝an－1＋2×3n－1＋1，累加可得an＝a1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)＋(n－1)，又a1＝3，∴an＝2·＋n＋2＝3n＋n－1(n＝1时也成立)．例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.答案解析原递推式可化为：[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0， an＋1＋an>0，∴＝，则＝，＝，＝，…，＝，累乘可得＝，又a1＝1，∴an＝(n＝1时也成立)．跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝_______.答案4－解析原递推式可化为an＋1＝an＋－，则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－，累加得an＝a1＋1－.故an＝4－(n＝1时也成立)．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2n·an，则an＝______.答案解析a1＝1，a2＝2a1，a3＝22a2，…，an＝2n－1an－1，累乘得an＝2·22·23·…·2n－1＝，当n＝1时也成立，故an＝.二、换元法例3已知数列{an}，其中a1＝，a2＝，且当n≥3时，an－an－1＝(an－1－an－2)，求通项公式an.解设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为bn－1＝bn－2，{bn}是一个等比数列，b1＝a2－a1＝－＝，公比为.∴bn＝b1·n－1＝n＋1，故an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，用累加法得an＝－n，当n＝1时也成立．跟踪训练2已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当n≥3时，an－2an－1＋an－2＝1，求通项公式an.解当n≥3时，(an－an－1)－(an－1－an－2)＝1，令bn－1＝an－an－1，∴bn－1－bn－2＝1，∴{bn}是等差数列，其中b1＝a2－a1＝1，公差为1，∴bn＝n，∴b1＋b2＋…＋bn－1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝an－1，∴an－1＝n(n－1)，∴an＝(n＝1时也成立)．三、构造等差数列求通项例4已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2·3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解an＋1＝3an＋2·3n＋1，两边同除以3n＋1，得＝＋2，∴是以＝1为首项，以2为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴an＝(2n－1)·3n.例5若数列{an}中，a1＝2且an＝(n≥2)，求它的通项公式an.解将an＝两边平方整理，得a－a＝3.数列{a}是以a＝4为首项，3为公差的等差数列．故a＝a＋(n－1)×3＝3n＋1.因为an>0，所以an＝.例6已知数列{an}中，a1＝1，且当n≥2时，an＝，求通项公式an.解将an＝两边取倒数，得－＝2，这说明是一个等差数列，首项是＝1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.跟踪训练3(1)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.①证明：数列是等差数列；②求数列{an}的通项公式．①证明由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝.由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．②解由(1)知＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n－1，n∈N*.(2)已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝________.答案解析易知an≠0， 数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，∴－＝1(n≥2，n∈N*)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴＝1＋9＝10，∴a10＝.四、构造等比数列求通项例7已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＋1＝2，∴{an＋1}是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.例8在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.解原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)，①比较系数得λ＝－4，①式为：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项为a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1.例9数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，则an＝________.答案解析因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0，n∈N*)，所以log2an＋1＝2log2an，即＝2.又a1＝2，所以log2...
