高考数学大一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第6节 空间向量的应用（第2课时）利用空间向量求夹角和距离（距离供选用）讲义 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP免费

第2课时利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).所以AB1＝(1，－，1)，BC1＝(1，0，1)，则cos〈AB1，BC1〉＝＝＝＝，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.图(2)则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.由余弦定理得cos∠B1AD1＝.(2)法一取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a，所以cos∠PBD＝＝.法二如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，所以AC＝(－，－1，0)，PB＝，cos〈AC，PB〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.法三如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB＝2，则AC＝OC－OA，PB＝OB－OP，故AC·PB＝(OC－OA)·(OB－OP)＝－，所以cos〈AC，PB〉＝＝－.即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案(1)C(2)A规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】(一题多解)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MN∥AC1，EF∥CB1∥C1B′，那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角.设AA1＝AB＝a，则AC1＝C1B′＝a，连接AB′，则AB′＝＝3a，由余弦定理得cos∠AC1B′＝＝－.故直线MN与EF所成角的余弦值为.法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MN∥AC1∥OD，EF∥CB1，那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.设AA1＝AB＝a，则AC1＝CB1＝a，于是OD＝OC＝，又CD＝，于是△OCD为正三角形，故∠DOC＝60°，cos∠DOC＝，即直线MN与EF所成角的余弦值为.法三取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，则AA1＝2，求得M(－1，0，)，N，E，F(1，0，)，所以MN＝，EF＝，cos〈MN，EF〉＝＝＝.答案C考点二用空间向量求线面角【例2】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB....