第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质[考情分析]圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅰ卷双曲线的性质及应用·T5椭圆的综合应用·T12Ⅱ卷双曲线离心率的范围·T5抛物线的方程及应用·T12Ⅲ卷椭圆的离心率求法·T11已知双曲线的渐近线求参数·T142016Ⅰ卷椭圆的离心率求法·T5Ⅲ卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法·T122015Ⅰ卷椭圆与抛物线的简单性质·T5双曲线的几何性质·T16Ⅱ卷双曲线的标准方程·T15[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.B.C.D.解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝·|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF||AP|＝×3×1＝.故选D.答案：D2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝，故选A.答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PE⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2解析： y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.答案：D4．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则|MF|＝.①又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.故选A.答案：A椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程[方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．[题组突破]1．(2017·大连双基)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.B．1C.D．2解析：设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.答案：B2．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.解析：由题意知a＝3，b＝.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6.在△PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，所以＝，故选B.答案：B3．已知双曲线－＝1(a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为4，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，A(x，y)，则，解得， 四边形ABCD的面积为4，∴4xy＝4×＝4，解得a＝2，故双曲线的方程为－＝1，选D.答案：D[误区警示]1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．2．在使用椭圆与双曲...
