第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点问题[方法结论]定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．[典例](2017·洛阳模拟)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解析：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0－y0)，则D(，－)， B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝(，－)，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝.法二：设直线BF交AC于D，连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴AB∥OD，∴△OFD∽△AFB.∴＝，解得a＝3c，从而e＝.(2) F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.∴椭圆E的方程为＋＝1.设直线l的方程为x＝ny＋1，(n≠0)由⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P(9，)，同理Q(9，)，从而FP·FQ＝(8，)·(8，)＝64＋＝64＋＝64＋＝0.∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.[类题通法]定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种：(1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．[演练冲关](2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.圆锥曲线中的定值问题[方法结论]解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．[典例](2017·沈阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－，0)，e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值．(3)在(2)的条件下，试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解析：(1)由题意得，c＝，e＝，解得a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆R相切，∴＝2，化简得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理，可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，∴k1，k2是方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－4＝0的两个不相等的实数根，∴x－4≠0，Δ＞0，k1k2＝. 点R(x0，y0)在椭圆C上，∴＋＝1，即y＝6－x，∴k1k2＝＝－.(3)|OP|2＋|OQ|2是定值18.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得，解得，∴x＋y＝，同理，可得x＋y＝由k1k2＝－，得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝18.综上：|OP|2＋|OQ|2＝18.[类题通法]定值问题在求解时注意“设而不求”思想方法的灵活运用，即引入参变量，用它来表示有关量，进而看能否把变量消去．“先猜后证”法是解决这类问题的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定点，进而证明它适用所有情形．[演练冲关](2016·高考北京...
