第3讲不等式与线性规划、计数原理与二项式定理1.(2018·全国Ⅲ卷,理5)x2+5的展开式中x4的系数为(C)(A)10(B)20(C)40(D)80解析:x2+5的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)5-r·r=·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为·22=40.故选C.2.(2017·全国Ⅲ卷,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(C)(A)-80(B)-40(C)40(D)80解析:展开式中含x3y3的项为x·(2x)2·(-y)3+y·(2x)3·(-y)2.故系数为-22+8=40.选C.3.(2017·全国Ⅱ卷,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(D)(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种解析:先将4项工作分为3组,再排列,共有=36种不同的方法.故选D.4.(2017·全国Ⅰ卷,理6)1+(1+x)6展开式中x2的系数为(C)(A)15(B)20(C)30(D)35解析:因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1=xr,所以1+(1+x)6的x2的系数为+=30.故选C.5.(2018·全国Ⅰ卷,理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析:法一按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种,故共有+=2×6+4=16(种).法二从2位女生,4位男生中选3人,共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16(种).答案:166.(2018·全国Ⅰ卷,理13)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-x+.作直线l0:y=-x.平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:67.(2018·全国Ⅱ卷,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看作常数)在y轴上的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.由得点C(5,4),所以zmax=5+4=9.答案:98.(2016·全国Ⅰ卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则z=2100x+900y,画出可行域.由解得所以zmax=2100×60+900×100=216000,所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.答案:2160001.考查角度(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.2.题型及难易度(1)题型:选择题、填空题.(2)难易度:中等难度.(对应学生用书第6~8页)不等式考向1不等式的性质与解法【例1】(1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c<0,在不等式①>,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)c<(b-c)c,④bea>aeb中,所有正确命题的序号是()(A)①②③(B)①③④(C)②③④(D)①②④(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为.解析:(1)因为a>b>1,c<0,所以可令a=3,b=2,c=-4,此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②错误,排除A,C,D,故选B.(2)因为x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)(x+a)<0,a>0,-a<3a,所以不等式的解集为{x|-ab>0,且ab=1,那么取最小值时,b=.解析:(1)由圆的方程可得C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,由两圆只有一条公切线可知两圆内切,所以|C1C2|=r1-r2,即=1,所以4a2+b2=1,所以+=+=4+1++≥5+2=9.当且仅当=...
