第4讲导数与函数的综合应用基础知识整合1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为□优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：3．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．1．(2019·四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()A．(1,5)B．[1,5)C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞)答案A解析由题意知f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧f′(x)异号)⇔f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)<0⇔1
2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案B解析由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.故选B.3.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)答案A解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0. x＝－1为极大值点，x＝1为极小值点．∴∴－22f(1)答案C解析由题设，f(x)为R上任意可导函数，不妨设f(x)＝(x－1)2，则f′(x)＝2(x－1)，满足(x－1)·f′(x)＝2(x－1)2≥0，且f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝1，则有f(0)＋f(2)>2f(1)；再设f(x)＝1，则f′(x)＝0，也满足(x－1)·f′(x)≥0，且有f(0)＋f(2)＝2f(1)，即1＋1＝2×1.5．(2019·贵阳模拟)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7]答案B解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3.因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20，所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.6．已知a≤＋lnx对任意的x∈恒成立，则a的最大值为________．答案0解析令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a的最大值为0.核心考向突破考向一导数与方程例1(2019·陕西汉中模拟)已知函数f(x)＝(其中e≈2.718…为自然对数的底数)．(1)若F(x)＝f(x)－f(－x)，求F(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝k在(－2，＋∞)上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解(1)由题意知，F(x)＝f(x)－f(－x)＝－，所以F′(x)＝＋xex＝x.当x<0时，ex－<0，所以x>0，即F′(x)>0，当x＝0时，F′(x)＝0，当x>0时，ex－>0，即F′(x)>0，所以F′(x)≥0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，所以F(x)＝f(x)－f(－x)在R上单调递增，即F(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为f(x)＝，所以f′(x)＝，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝0处取得最大值，且f(0)＝1，当x趋近于－∞时，f(x)趋近于－∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于0，故函数f(x)的大致图象如图所示，结合函数图象可知，当k≤0时，方程f(x)＝k有且仅有一个实数根．当k>0时，设曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－＝－(x－x0)，且该直线过定点，所以0－＝－，解得x0＝－2(舍去)或x0＝－，此时切线...
