第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质1.(2018·全国Ⅱ卷,理5)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(A)(A)y=±x(B)y=±x(C)y=±x(D)y=±x解析:由e===,得=,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.2.(2018·全国Ⅲ卷,理6)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(A)(A)[2,6](B)[4,8](C)[,3](D)[2,3]解析:设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知条件可得AB=2,所以△ABP面积的最大值为AB·dmax=6,△ABP面积的最小值为AB·dmin=2.综上,△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.3.(2017·全国Ⅲ卷,理5)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3.在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.故选B.4.(2017·全国Ⅱ卷,理9)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(A)(A)2(B)(C)(D)解析:双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2.依题意可得2=2,即=1,所以d=.又d==,所以4b2=3c2,所以4(c2-a2)=3c2,所以=4,即e2=4.所以e=2.故选A.5.(2017·全国Ⅲ卷,理10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:以A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,因为直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以=a得a2=3b2,由a2=b2+c2得e=,故选A.6.(2018·全国Ⅱ卷,理12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|=2c,因为△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c,因为|OF2|=c,所以点P坐标为(c+2ccos60°,2csin60°),即点P(2c,c),因为点P在过点A,且斜率为的直线上,所以=,解得=,所以e=,故选D.7.(2017·全国Ⅰ卷,理15)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.解析:双曲线方程为-=1,双曲线的渐近线bx-ay=0与圆相交,则A(a,0)到直线bx-ay=0的距离为=,又∠MAN=60°,故d=b.所以=b,故e==.答案:1.考查角度(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.2.题型及难易度选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.(对应学生用书第42~43页)直线与圆考向1圆的方程【例1】一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.解析:由题意知a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(00),则解得所以圆的标准方程为x-2+y2=.答案:x-2+y2=考向2直线与圆的位置关系【例2】(2018·全国Ⅰ卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2=2.答案:2(1)求圆的方程一般有两类方法:①几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;②代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆的一般方程求解.(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.热点训练1:(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.解析:法一设圆的方程...
