第2讲平面向量、框图与合情推理1.(2018·全国Ⅱ卷,理4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(B)(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.2.(2018·全国Ⅰ卷,理6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于(A)(A)-(B)-(C)+(D)+解析:=+=+=×(+)+(-)=-.故选A.3.(2018·全国Ⅱ卷,理7)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入(B)(A)i=i+1(B)i=i+2(C)i=i+3(D)i=i+4解析:把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.循环次数①②③…N0+0++0+++…0++++…+续表循环次数①②③…T0+0++0+++…0++++…+S1-1-+-1-+-+-…1-+-+…+-因为N=N+,由上表知i是1→3→5,…,所以i=i+2.故选B.4.(2017·全国Ⅱ卷,理8)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S等于(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:程序执行如下a=-1,S=0,K=1⇒S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2.⇒S=-1+1×2=1,a=-1,K=3,⇒S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4,⇒S=-2+1×4=2,a=-1,K=5,⇒S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6,⇒S=-3+1×6=3,a=-1,K=7>6,⇒输出S=3.故选B.5.(2017·全国Ⅱ卷,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(D)(A)乙可以知道四人的成绩(B)丁可以知道四人的成绩(C)乙、丁可以知道对方的成绩(D)乙、丁可以知道自己的成绩解析:乙、丙一定是一优一良,可推出甲、丁一优一良,乙知道丙的成绩,就可推理出自己成绩,丁看到甲的成绩同样可推理出自己成绩,故D正确,而他们仍无法知道其余两人成绩.1.考查角度(1)平面向量:考查平面向量的线性运算、数量积运算及其简单应用(求模、夹角,根据平行、垂直关系求参数值等).(2)框图:考查程序框图的算法功能、完善框图的条件等.(3)合情推理:考查逻辑推理与合情推理的综合运用.2.题型与难易度选择题、填空题,难度中等或中等偏上.(对应学生用书第4~5页)平面向量考向1平面向量线性运算【例1】(1)(2018·山西一模)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设=a,=b,则向量等于()(A)a+b(B)-a-b(C)-a+b(D)a-b(2)(2018·河北武邑中学调研二)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于()(A)1(B)(C)(D)解析:(1)如图所示,因为点E为CD的中点,CD∥AB,所以==2,所以=,=+=b-a,所以=b-a=-a+b,故选C.(2)因为E为线段AO的中点,所以=+=+=+=λ+μ,所以λ+μ=+=.故选B.平面向量的线性运算是指加减和数乘运算,注意如下几点:(1)=-(O为任意一点,下同);(2)若D为AB中点,=(+);(3)如果=t+(1-t),则A,B,C三点共线,反之亦然.考向2平面向量的数量积运算【例2】(1)(2018·天津二模)已知向量与的夹角为120°,||=5,||=2,若=λ+,且·=-6,则实数λ的值为()(A)-(B)(C)-(D)(2)(2018·临沂二模)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-3a-4b|=1,则|c|的取值范围是()(A)[-1,+1](B)[1,+1](C)[5,6](D)[4,6]解析:(1)<,>=120°,||=5,||=2,=λ+;所以·=(λ+)·(-)=-λ+(λ-1)||||cos120°+=-25λ-5(λ-1)+4=-6,解得λ=.故选B.(2)令=3a,=4b,=3a+4b,=c.如图所示:则||=5,又|c-3a-4b|=1,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,易知点C与O,D共线时||达到最值,最大值为5+1,最小值为5-1,所以|c|的取值范围为[4,6].故选D.(1)平面向量的数量积运算既可以使用定义,即a·b=|a||b|cos
,也可以使用坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b=x1x2+y1y2;(2)向量的夹角和模的求解是根据数量积的定义和坐标运算得出的,特别注意|a|=.热点训练1:(1)(2018·齐鲁名校教研协作体冲刺卷)已知☉O1,☉O2,☉O3的半径依次为1,2,3,☉O1,☉O2外切于点M,☉O2,☉O3外切于点N,☉O3,☉O1外切于点P,则·(+)等于()(A)(B)(C)(D)(2)(2018·河南郑州二次质检)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最小值为()(A)-2(B)3-(C)-1(D)0解析:(1)如图所示,O1O2=3,O2O3=5,O3O1=4,所以O2O1⊥O3O1,=+=+=+(-)=+,所以·(+)=+·(+)=++=×3+×4=.故选B.(2)由a·b=,可得=,不妨设a=(1,...
