第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题体验]1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝________.解析：如图，因为在△ABC中，AB＝c，AC＝b，且点D满足BD＝2DC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB＝b＋c.答案：b＋c2．下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b;④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的序号是________．答案：④3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝.答案：1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[小题纠偏]1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.答案：22．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ＞0，故qp．所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是________．(填序号)①m＋n＝1；②m＋n＝－1；③mn＝1；④mn＝－1.解析：由A，B，D共线可设AB＝λAD，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.答案：③[题组练透]1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题是________．(填序号)解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；AB＝DC，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．答案：①②③⑥2．给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确的命题是________．(填序号)解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b，故③不正确．答案：①②④[谨记通法]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混...
