第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．答案④解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．命题点2求已知函数的极值例2设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．解f′(x)＝＋a(2x－1)＝(x>－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．a．当0时，Δ>0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1－.由g(－1)＝1>0，可得－10，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．因此函数f(x)有两个极值点．③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－10，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)有一个极值点．综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；当a>时，函数f(x)有两个极值点．命题点3根据极值(点)求参数例3已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为________．答案(－∞，e]解析因为函数f(x)＝－k，所以函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以f′(x)＝－k＝.因为x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x＝2是y＝f′(x)的唯一变号零点．所以y＝－k在(0，＋∞)上无变号零点，设g(x)＝－k，则g′(x)＝.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e－k，若g(x)在(0，＋∞)上无变号零点，则需要g(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)min≥0，即e－k≥0，即k≤e，所以若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需k≤e.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a－＝，当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当a>0时，由f′(x)<0得00，得x>，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x＝处有极小值，无极大值．∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2) 函数f(x)在x＝1处取得极值，∴a＝1，∴f(x)≥bx－2，即1＋－≥b，令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－，即实数b的取值范围为.题型二用导数求函数的最值例4已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解f′(x)＝＋＝.①若k＝0，则f′(x)＝－，在上恒有f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．②若k≠0...
