§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)1(3)在等边三角形ABC中，向量AB与BC的夹角为60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案(1,5)解析设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.答案－解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.题组三易错自纠4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案05．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB＝(3,1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.答案－6解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．2解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA，所以OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意知，EC∥DC，故设EC＝xDC.因为EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，则t的值为________．答案解析 CP＝CA＋CB，∴3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，∴2AP＝PB，即P为AB的一个三等分点，如图所示． A，M，Q三点共线，∴CM＝xCQ＋(1－x)CA＝CB＋(x－1)AC，而CB＝AB－AC，∴CM＝AB＋AC.又CP＝CA－PA＝－AC＋AB，由已知CM＝tCP，可得AB＋AC＝t，又AB，AC不共线，∴解得t＝.题型二平面向量的坐标运算3例2(...
