第3讲导数的综合应用1
(2018·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1
(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0
(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-
由题设知,f'(2)=0,所以a=
从而f(x)=ex-lnx-1,f'(x)=ex-
当00;当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)0,所以f(x)=0等价于-3a=0
设g(x)=-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点
又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-0,故f(x)有一个零点
综上,f(x)只有一个零点
(2017·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x
(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围
解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)
①若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增
②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)0,故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增
③若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna
从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0,综合得0
