第3讲导数的综合应用1.(2018·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-.由题设知,f'(2)=0,所以a=.从而f(x)=ex-lnx-1,f'(x)=ex-.当0
2时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明:当a≥时,f(x)≥-lnx-1.设g(x)=-lnx-1,则g'(x)=-.当01时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.2.(2018·全国Ⅱ卷,文21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解:当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.(2)证明:因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.3.(2017·全国Ⅰ卷,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0,当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln-.当x∈-∞,ln-时,f'(x)<0;当x∈ln-,+∞时,f'(x)>0,故f(x)在-∞,ln-上单调递减,在ln-,+∞上单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0,综合得00.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.②设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).(ⅰ)若a=-,则f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(ⅱ)若a>-,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.(ⅲ)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.(2)①设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b(b-2)+a(b-1)2=ab2-b>0,所以f(x)有两个零点.②设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.③设a<0,若a≥-,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).1.考查角度考查利用导数知识证明不等式、根据不等式恒成立确定参数范围,考查利用导数知识研究函数零点个数、根据函数零点个数确定参数取值范围、证明函数零点的性质等.2.题型及难易度解答题,属于难题或者较难题.(对应学生用书第15~16页)导数与不等式考向1导数方法证明不等式【例1】(1)(2018·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=a(x+1)lnx-x+1(a∈R),当a≥时,求证:对任意的x≥1,f(x)≥0;(2)(2018·河南新乡三模)已知函数f(x)=ex(alnx-bx),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-4)x-e+2.证明:f(x)+x2<0.证明:(1)当a≥时,f(x)=a(x+1)lnx-x+1,欲证f(x)≥0,注意到f(1)=0,只要f(x)≥f(1)即可.f'(x)=alnx++1-1...
