第4讲直接证明与间接证明基础知识整合1.直接证明2.间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明□假设错误，从而证明□原命题成立的证明方法．(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．,分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．1.要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案B解析从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选B.2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数答案B解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选B.3.若a>b>0，且x＝a＋，y＝b＋，则()A.x>yB．x0.所以a＋>b＋.故选A.4．若a，b，c为实数，且aab>b2C.答案B解析 a2－ab＝a(a－b)，a0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.5．(2019·扬州调研)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．答案m⇐a0，显然成立．6．已知实数m，n满足mn>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．答案－4解析 mn>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.核心考向突破考向一综合法证明例1已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x＝cos2y.证明 sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，∴sinθ＋cosθ＝2sinx，①sinθcosθ＝sin2y,②①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1.∴4×－2×＝1，即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1.故证得2cos2x＝cos2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的正确判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．即时训练1.已知f(x)＝，证明：f(x)＋f(1－x)＝.证明 f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝.故f(x)＋f(1－x)＝成立．考向二分析法证明例2已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：＋≤2.证明要证＋≤2，只需证a＋＋b＋＋2≤4，又a＋b＝1，故只需证≤1，只需证＝ab＋(a＋b)＋≤1，只需证ab≤.因为a>0，b>0,1＝a＋b≥2，所以ab≤，故原不等式成立.触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．即时训练2.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1.求证：＋＋≤.证明欲证＋＋≤，则只需证(＋＋)2≤3，即证a＋b＋c＋2(＋＋)≤3，即证＋＋≤1.又＋＋≤＋＋＝1，当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”．∴原不等式＋＋≤成立．考向三反证法证明角度\s\up7()证明否定性命题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(p
