第三节基本不等式及其应用1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m，n均为正实数，且m＋2n＝1，则mn的最大值为________．解析： m＋2n＝1，∴m·2n≤2＝，即mn≤，当且仅当m＝2n＝时，mn取得最大值.答案：2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，所以x2＋2y2的最小值为2.答案：23．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设一边长为xm，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5m时面积取到最大值25m2.答案：251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y＝x＋(x＞1)的最小值为________．解析： x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当x＝4时取等号．答案：72．函数f(x)＝x＋的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)[典例引领]1．(2018·启东期末)设正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．解析： a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为8.答案：82．(2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．解析：因为x＞－4，所以x＋4＞0，所以f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2－4＝2，当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号．答案：23．(2018·徐州调研)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则＋的最小值为________．解析：因为(2x＋y)2＋(x－2y)2＝5(x2＋y2)＝15，所以令(2x＋y)2＝t，(x－2y)2＝μ，所以t＋μ＝15，＋＝＋＝(t＋μ)＝≥(5＋4)＝，当且仅当t＝5，μ＝10时取等号，所以＋的最小值为.答案：[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．又因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.答案：2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．解析：由题意得y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．答案：33．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．解析：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：4[典例引领]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意...
