第1讲等差数列、等比数列[做小题——激活思维]1．在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为()A．9B．22C．24D．32C[依题意得，数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝3，因此数列{an}的前4项和等于4×3＋×2＝24，选C.]2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2nA[设等差数列{an}的公差为d， ∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.]3．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35C[ a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.]4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于________．[由3an＋1＋an＝0，a2＝－得{an}成首项为1，公比q＝－的等比数列，∴S10＝＝.]5．在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则等于________．[因为a2a8＝a4a6＝6①，又a4＋a6＝5②，联立①②，解得或(舍)，所以＝.][扣要点——查缺补漏]1．判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d，d为常数，则{an}为等差(比)数列，如T1，T4.(2)中项公式法．(3)通项公式法．2．等差数列的通项公式及前n项和公式(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；(2)Sn＝＝na1＋d.如T2.3．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)an＝a1qn－1＝am·qn－m(q≠0)；(2)Sn＝如T4.4．等差数列与等比数列的性质(1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.如T3.(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列．(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.如T5.(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).等差(比)数列的基本运算(5年9考)[高考解读]高考对该点的考查以等差数列、等比数列的通项公式与求和公式为考查目标，对等差比数列的五个基本量的计算进行考查，体现方程思想和转化与化归思想的应用.预测2020年命题风格不变.1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12B[设等差数列{an}的公差为d， 3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1， a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]2．[一题多解](2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝________.[法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)设Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84B[ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]2．(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6C[ {an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2. Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝＝＝0，∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]等差(比)数列基本运算的解题途径(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体代换，以减少运算量．提醒：抓住项与项...
