高三数学两个原理的区别及其应用专题辅导VIP专享VIP免费

两个原理的区别及其应用赵丽辉分类计数原理与分步计数原理是排列、组合的基础，贯穿于整章内容之中，理解并掌握两个原理，能运用两个原理解决某些较为简单的实际问题是高考考纲中明确要求的。这两个原理看起来很简单，但用起来却不容易，甚至常常容易误用，那么，两个原理的区别是什么？如何应用这两个原理呢？下列举例分析。一、两个原理的区别分类计数原理与分步计数原理是研究“完成一件事有多少种方法”的重要工具。两个原理的区别可以从以下三点进行理解：（1）从“完成一件事”的含义看，分类完成一件事指做这件事可有若干类方法，每类方法都能独立完成这件事，各类方法相互独立；而分步完成一件事指完成这件事要分成几个步骤，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，任意一步都不能独立地完成这件事。（2）从分类与分步的角度看，分类计数原理的各类具有并列性、独立性，分步计数原理的各步紧密相联。（3）从特殊字词看，如从两组元素中“任取一个”和“各取一个”，虽一字之差，但“任取一个”是分类，“各取一个”是分步，充分体现了分类计数原理与分步计数原理的区别。例1有7名女同学和9名男同学，（1）从中选1人参加乒乓球比赛，共有多少种选法？（2）从中选2人组成乒乓球混合双打代表队，共有多少种组队方法？分析：此题可借助于两个原理的第3点进行理解，即第一小题是“任取一个”，对于第二小题是“各取一个”，这样此题便可分别依据两个原理求解。解：（1）由分类计数原理知，不同的选拔方法共有7+9=16（种）；（2）由分步计数原理知，不同的组队方法共有（种）。二、两个原理的应用1.分类问题例2某校学生会有高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人，选其中1人为校学生会主席，有多少种不同的选法？解析：此题属分类计数问题。根据分类计数原理，选其中1人为学生会主席的选法有5+6+4=15（种）。例3把10个苹果分成三堆，要求每一堆至少1个，至多5个，则不同的分类方法共有（）A.4种B.5种C.6种D.7种解析：此题属分类计数问题，列出各种情况即可，注意不重不漏。按每堆苹果的数量可分为4类，即1、4、5，2、3、5，3、3、4，2、4、4，且每类对应一种方法，所以选A。2.分步问题例4某校学生会有高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人，每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？解析：此题属分步计数问题，相当于“各取一个”。根据分步计数原理，每年级选1人为校学生会常委的选法有（种）。例5已知集合，，则从集合A到B的映射个数最多有__用心爱心专心115号编辑_______个。解析：此题是分步问题，需要通过分步来完成，从映射的定义出发，（1）A到B不能一对二或一对多。（2）A中元素须全部有对应。通过这两条来理解便可求解。因为A中的每一个元素的映射最多有4种可能性，A中的每一个元素都要有对应，则映射最多有（个）。点评：解决此题的关键是选准出发点，此题的出发点为A，如果能一对二或一对多，则A不能成为出发点；如果不能一对二或一对多，则可以选A为出发点。例6有4名学生报名参加数学、物理和化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？解析：此题实际同例5是一个模型，故可用分步计数原理完成。因学生不能报两科或更多，故选学生为出发点，每名学生有3种情况，则共有（种）。3.两个原理混合应用题例7某校学生会有高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人，若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解析：此题属分类、分步混合应用题，需先分类，再分步考虑。根据分步计数原理和分类计数原理，选不同组合的情况有3种，即一、二年级，二、三年级，三、一年级，而对应情况的数目分别为，，，则共有（种）。例8同室4人各写一张贺年卡，先把卡集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.12种解析：此题需要综合应用分步计数原理与分类计数原理来求解。记4人分为1号、2号、3号、4号，则1号送出的贺年卡只能由其他3人中的一个人收到，故有3种可能，以2号收到为例，其他人收到贺年卡的情况可分为两类：（1）1号收到2号送出的贺年卡，这时3号、4号只有互...