第一节数列的概念及其简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝4．数列的分类[小题体验]1．数列－1，，－，，…的一个通项公式是________．解析：－1＝－，数列1,4,9,16，…对应通项n2，数列1,3,5,7，…对应通项2n－1，数列－1,1，－1,1，…对应通项(－1)n，故an＝(－1)n·.答案：an＝(－1)n·2．已知数列满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则a5＝________.解析：a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255.答案：2553．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．答案：4或54．若数列的前n项和Sn＝n2＋3n，则＝________.解析： 数列的前n项和Sn＝n2＋3n，∴a1＋a2＋a3＝S3＝32＋3×3＝18， a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36，∴＝2.答案：21．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．[小题纠偏]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.又a1＝－1不适合上式，故an＝答案：an＝2．若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式an＝________.解析：由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，得an＝an－an－1，∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，∴an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－1[题组练透]1．若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：(函数观点)因为为单调递增数列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*都成立，所以λ＞－3.故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．法二：(数形结合法)因为为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f(x)＝x2＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)2．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)0.9n，求n为何值时，an取得最大值．解：因为a1＝2×0.9＝1.8，a2＝3×0.81＝2.43，所以a1＜a2，所以a1不是数列{an}中的最大项．设第n项an的值最大，则即解得所以当n为8或9时，an取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的2种方法(1)单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．(2)不等式组法：若满足则an为数列{an}中的最大项；若满足则an为数列{an}中的最小项．[典例引领]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝[由题悟法]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符...
