华东理工大学线性代数作业簿(第八册)学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________6.1二次型及其标准型1.设矩阵与合同,则下述选项正确的是().();();();()与有相同特征值.解:.提示:与合同即存在可逆矩阵,使得,故.2.设二次型,则此二次型的矩阵,二次型的秩为______,二次型的正交变换标准型为___________________.解:,,.提示:二次型的秩就是二次型的矩阵的秩,也是其标准型中非零项的个数(注:标准型不唯一)。因此求二次型的秩有两种方法,1)直接求二次型的矩阵的秩,2)先求的特征值,有几个非零特征值(重根按重数计算),二次型的秩就是几.3.设实二次型其中,则二次型的矩阵为_________.解:.提示:的值是一个数,即,故有。而为对称矩阵.4.若元(>2)实二次型的正交变换标准型为,则______,矩阵的迹为_____.解:0,.提示:的特征值为,根据易得.5.若二次型的秩为2,则参数的值为_____,表示的曲面为__________.解:3,椭圆柱面.提示:二次型的矩阵的秩为2,故,由此可求得=3。再求出的特征值为,即标准型为,由此知为椭圆柱面。6.已知二次型(a>0)通过正交变换化成标准型,求参数a及所用的正交变换矩阵.解:二次型的矩阵为,且,由即得。有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于这三个特征值的特征向量,,并把它们单位化,得正交变换矩阵为.7.已知二次曲面方程可以通过正交变换化为椭圆柱面方程。求a,b的值和正交矩阵P.解:由与相似,故,=0,进而得.代入后分别求出的线性无关的特征向量,,,并把它们单位化,可得正交变换矩阵为.6.2正定二次型与正定矩阵1.设n阶方阵都正定,则下述结论不正确的是().(A)正定;(B)正定;(C)正定;(D)正定.解:B.未必对称,故不正定.2.与“实二次型(其中)是正定的”等价的是______.(A)对任意,恒有;(B)二次型的负惯性指数为零;(C)存在可逆阵,使得;(D)的特征值均不小于零.解:C.3.若用<0表示为负定矩阵,则下述结论正确的是().(A)若<0,则<0;(B)若<0,则<0;(C)若<0,则对任意与同阶的可逆阵都有<0;(D)若<0,则其中至少有一个<0.解:C.提示:根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上,<0等价于,又等价于,等价于<0.4.设是正定二次型,则的取值范围是__________.解:.提示:根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解.5.设为一个三阶矩阵,其特征值为-1,-1,2,则当满足______条件时,为正定二次型,此时的规范型为_____________.解:,.提示:由的特征值为-1,-1,2知的特征值为又为正定二次型,其特征值必须全部都大于零,故得.6.设二次型经正交变换可化为标准型,证明:二次型经相同的正交变换可化为标准型.证明:==()+()=.7.设二次型,试用正交变换化二次型为标准型,并讨论当取何值时,为负定二次型.解:根据上一题的结论,我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得二次型的矩阵的特征值为-2,-2,4.对应的线性无关的特征向量为.经施密特正交化,单位化可得所求的正交变换矩阵为,而在正交变换下的标准型为.故有:在正交变换下的标准型为.二次型为负定二次型,即,,故有(也可用顺序主子式来解).8.设为一个n元实二次型,为A的特征值,P为正交矩阵,且.试证明:(1);(2)在时取到的最大值就等于A的最大特征值.证明:1)令,则,故,又,故1)得证.2)令,显然,代入得.由1)得,故在时取到的最大值就等于A的最大特征值(同理取,知在时取到的最小值就等于A的最小特征值).9.证明对任意的实对称阵A,一定存在实数,使得是正定矩阵.证明:等价于二次型(),由第8题的结论知:(其中为A的最小特征值),故取时有().