华东理工大学线性代数作业簿（第八册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________6.1二次型及其标准型1.设矩阵与合同，则下述选项正确的是（）.()；()；()；()与有相同特征值.解：.提示：与合同即存在可逆矩阵，使得，故.2．设二次型,则此二次型的矩阵,二次型的秩为______,二次型的正交变换标准型为___________________.解：，，.提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）。因此求二次型的秩有两种方法，1)直接求二次型的矩阵的秩，2）先求的特征值，有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.3.设实二次型其中，则二次型的矩阵为_________.解：.提示：的值是一个数，即，故有。而为对称矩阵.4.若元(>2)实二次型的正交变换标准型为，则______，矩阵的迹为_____.解：0,.提示：的特征值为，根据易得.5.若二次型的秩为2，则参数的值为_____，表示的曲面为__________.解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵的秩为2，故，由此可求得=3。再求出的特征值为，即标准型为，由此知为椭圆柱面。6.已知二次型（a>0）通过正交变换化成标准型，求参数a及所用的正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为，且，由即得。有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于这三个特征值的特征向量,,并把它们单位化，得正交变换矩阵为.7.已知二次曲面方程可以通过正交变换化为椭圆柱面方程。求a,b的值和正交矩阵P.解:由与相似，故，=0，进而得.代入后分别求出的线性无关的特征向量,,,并把它们单位化，可得正交变换矩阵为.6.2正定二次型与正定矩阵1.设n阶方阵都正定，则下述结论不正确的是（）.（A）正定；（B）正定；（C）正定；（D）正定.解：B.未必对称，故不正定.2．与“实二次型（其中）是正定的”等价的是______.（A）对任意，恒有；（B）二次型的负惯性指数为零；（C）存在可逆阵，使得；（D）的特征值均不小于零.解：C.3.若用<0表示为负定矩阵，则下述结论正确的是().（A）若<0，则<0;（B）若<0，则<0;（C）若<0，则对任意与同阶的可逆阵都有<0;（D）若<0，则其中至少有一个<0.解：C.提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上,<0等价于,又等价于，等价于<0.4.设是正定二次型，则的取值范围是__________.解：.提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解.5.设为一个三阶矩阵，其特征值为-1，-1，2，则当满足______条件时，为正定二次型,此时的规范型为_____________.解：,.提示：由的特征值为-1，-1，2知的特征值为又为正定二次型，其特征值必须全部都大于零，故得.6.设二次型经正交变换可化为标准型，证明：二次型经相同的正交变换可化为标准型．证明：＝＝（）＋（）＝．7.设二次型，试用正交变换化二次型为标准型，并讨论当取何值时，为负定二次型．解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得二次型的矩阵的特征值为-2,-2,4.对应的线性无关的特征向量为.经施密特正交化，单位化可得所求的正交变换矩阵为,而在正交变换下的标准型为．故有：在正交变换下的标准型为．二次型为负定二次型，即,,故有（也可用顺序主子式来解）.8.设为一个n元实二次型，为A的特征值，P为正交矩阵，且.试证明：（1）；（2）在时取到的最大值就等于A的最大特征值.证明：1）令，则，故，又，故1）得证.2）令，显然，代入得．由1)得，故在时取到的最大值就等于A的最大特征值（同理取，知在时取到的最小值就等于A的最小特征值）.9.证明对任意的实对称阵A，一定存在实数，使得是正定矩阵．证明：等价于二次型(),由第8题的结论知：（其中为A的最小特征值），故取时有().
