第二节复数1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[小题体验]1．(2019·徐州调研)若复数z满足i·z＝1＋2i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝＝2－i，∴|z|＝.答案：2．若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为________．解析：因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i.答案：1－2i3．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．[小题纠偏]1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.答案：42．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.答案：2[题组练透]1．(2018·扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是________．解析： z＝＝＝－i，∴＝＋i.答案：＋i2．(2019·盐城模拟)设复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为________．解析：法一：复数z＝＝＝＋i为纯虚数，则＝0，≠0，故a＝－1.法二：设z＝＝bi，b∈R，b≠0，则a＋i＝bi(1＋i)＝－b＋bi，故得a＝－1.答案：－13．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.解析：依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.答案：4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.答案：4＋2i[谨记通法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．[题组练透]1．(2019·淮安模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为________．解析：z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．答案：第一象限2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为________．解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.答案：1－i3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.答案：(－∞，－1)4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值...
