§8.6立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思考1．直线的方向向量如何确定？提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB及与AB平行的非零向量均为直线l的方向向量．2．如何确定平面的法向量？提示设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的．(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×)题组二教材改编2．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．答案α⊥βα∥β解析当v＝(3，－2，2)时，u·v＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．答案垂直解析以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N，AM·ON＝·＝0，∴ON与AM垂直．题组三易错自纠4．直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有()A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α或l∥α答案B解析由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.5．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对答案C解析 n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直．6．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1)B．(1，－1，1)C.D.答案C解析设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，则化简得∴x＝y＝z.故选C.题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明 平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．∴PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，∴解得s＝t＝2，∴PB＝2FE＋2FG，又 FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面． PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.证明 EF＝(0，1，0)，BC＝(0，2，0)，∴BC＝2EF，∴BC∥EF.又 EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.思维升华利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两...
