第三节椭圆突破点一椭圆的定义和标准方程1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()答案：(1)×(2)√(3)×二、填空题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．答案：42．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)3．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．答案：＋＝1考法一椭圆的定义及应用[例1](1)(2019·衡水调研)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.＋＝1B.－＝1C.－＝1D.＋＝1(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆＋＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A.B.C.D.1[解析](1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则cos60°＝＝＝，化简得，3mn＝4(a2－c2)＝4b2， b2＝4，∴mn＝，∴S△PF1F2＝mnsin60°＝.故选D.[答案](1)D(2)D[方法技巧]椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．考法二椭圆的标准方程[例2](1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为____________．[解析](1)设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝＝，则|PF′|＝＝8，由椭圆定义，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2，所以b2＝16.故椭圆C的方程为＋＝1.(2) 椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，∴椭圆方程为＋＝1.[答案](1)C(2)＋＝1[方法技巧]待定系数法求椭圆方程的思路21.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选B由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6， 椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，即＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.3.P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝()A.B.C．8D.解析：选D由椭圆＋...
