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(新课改省份专用)高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换讲义(含解析)-人教版高三全册数学教案VIP免费

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第五节三角恒等变换突破点一三角函数求值1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_βS(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_βS(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_βT(α-β)tan(α-β)=;变形:tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)T(α+β)tan(α+β)=;变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)2.二倍角公式S2αsin2α=2sin_αcos_α;变形:1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2C2αcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;变形:cos2α=,sin2α=T2αtan2α=一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(2)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.()(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.()(4)公式asinx+bcosx=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)×二、填空题1.已知tanα=2,则tan=________.解析: tanα=2,∴tan==.答案:2.化简cos18°cos42°-cos72°sin42°的值为________.解析:法一:原式=cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=.法二:原式=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:3.cos15°-4sin215°cos15°=________.解析:cos15°-4sin215°cos15°=cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=cos15°-2sin15°·sin30°=cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°1=.答案:4.设sinα=2cosα,则tan2α的值为________.解析:由题可知,tanα==2,∴tan2α==-.答案:-考法一三角函数式的化简求值1.三角函数式化简的一般要求:(1)函数名称尽可能少;(2)项数尽可能少;(3)尽可能不含根式;(4)次数尽可能低、尽可能求出值.2.常用的基本变换方法有:异角化同角、异名化同名、异次化同次,降幂或升幂,“1”的代换,弦切互化等.[例1](1)=()A.-B.-C.D.(2)化简:=________.[解析](1)===sin30°=.(2)法一:原式====1.法二:原式=====1.[答案](1)C(2)1[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二三角函数的给值求值(角)[例2](1)(2019·辽宁师大附中期末)若α,β均为锐角且cosα=,cos(α+β)=-,则sin=()A.-B.2C.-D.(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A,B均为钝角,sin2+cos=,且sinB=,则A+B=()A.B.C.D.[解析](1) α,β均为锐角,∴0<α+β<π. cosα=,cos(α+β)=-,∴sinα=,sin(α+β)=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.∴sin=-cos2β=1-2cos2β=.故选B.(2)因为sin2+cos=,所以+cosA-sinA=,即-sinA=,解得sinA=.因为A为钝角,所以cosA=-=-=-.由sinB=,且B为钝角,可得cosB=-=-=-.所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=.又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),故A+B=,故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1.给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.2.给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围.(2)根据已知条件,选取合适的三角函数求值.①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.1.已知sin2α=,则cos2=()A.B.C.D.解析:选A sin2α=,∴cos2====.故选A.2.(1+tan18°)·(1+tan27°)的值是()A.B.1+C.2D.2(tan18°+tan27°)解析:选C(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°(1-tan18°tan27°)+tan18°·tan27°=2.故选C.33.若cos=,则cos...

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