（新课改省份专用）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换讲义（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第五节三角恒等变换突破点一三角函数求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)2.二倍角公式S2αsin2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝T2αtan2α＝一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、填空题1．已知tanα＝2，则tan＝________.解析： tanα＝2，∴tan＝＝.答案：2．化简cos18°cos42°－cos72°sin42°的值为________．解析：法一：原式＝cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos(18°＋42°)＝cos60°＝.法二：原式＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.答案：3.cos15°－4sin215°cos15°＝________.解析：cos15°－4sin215°cos15°＝cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝cos15°－2sin15°·sin30°＝cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°1＝.答案：4．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________．解析：由题可知，tanα＝＝2，∴tan2α＝＝－.答案：－考法一三角函数式的化简求值1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1](1)＝()A．－B．－C.D.(2)化简：＝________.[解析](1)＝＝＝sin30°＝.(2)法一：原式＝＝＝＝1.法二：原式＝＝＝＝＝1.[答案](1)C(2)1[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二三角函数的给值求值(角)[例2](1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝()A．－B.2C．－D.(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sinB＝，则A＋B＝()A.B.C.D.[解析](1) α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.∴sin＝－cos2β＝1－2cos2β＝.故选B.(2)因为sin2＋cos＝，所以＋cosA－sinA＝，即－sinA＝，解得sinA＝.因为A为钝角，所以cosA＝－＝－＝－.由sinB＝，且B为钝角，可得cosB＝－＝－＝－.所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝.又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．2．给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．1.已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.解析：选A sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.故选A.2.(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.B．1＋C．2D．2(tan18°＋tan27°)解析：选C(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.故选C.33.若cos＝，则cos...