微专题五三角函数问题的多解探究[解题技法]三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐．题目已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．解方法一构造方程由3cosx＋4sinx＝5两边平方，得9cos2x＋24sinxcosx＋16sin2x＝25.而25＝25(sin2x＋cos2x)，所以上式可整理为9sin2x－24sinxcosx＋16cos2x＝0.即(3sinx－4cosx)2＝0.所以3sinx－4cosx＝0，解得tanx＝.方法二构造方程组由消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝，cosx＝.故tanx＝＝.方法三构造辅助角由3cosx＋4sinx＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cosφ＝，sinφ＝.所以tanφ＝.所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，于是tanx＝tan＝cotφ＝.方法四代数换元令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，cosx＝，sinx＝.再代入sin2x＋cos2x＝1，得2＋2＝1.解得t＝，即tanx＝.方法五运用三角函数定义设P(m，n)为角x终边上任意一点，P点到原点O的距离为r，则r＝.把sinx＝，cosx＝代入已知等式得3·＋4·＝5.即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．整理得(4m－3n)2＝0.所以4m＝3n，显然m≠0.故tanx＝＝.方法六构造直线斜率1由3cosx＋4sinx＝5可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线与单位圆的切点．由于直线的斜率为－，所以OA的斜率为，即tanx＝.方法七构造单位圆因为3cosx＋4sinx＝5，即cosx＋sinx＝1.设A(cosx，sinx)，B，则点A，B均在单位圆x2＋y2＝1上．所以过B点的切线方程为x＋y＝1.可知点A(cosx，sinx)也在切线x＋y＝1上，从而点A也是切点，由切点的唯一性也可知A，B两点重合，所以cosx＝，sinx＝，即tanx＝.方法八构造平面向量因为cosx＋sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1.所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为：m∥n，则有cosx＝sinx，即tanx＝.2
