9．5空间的角和距离一、明确复习目标1.掌握空间三种角的概念和求法；2.掌握空间中各种距离的概念和求法；3．能利用这些概念和方法进行论证和解决有关问题.二．建构知识网络1．空间的三种角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角.2．距离有七种，即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离.空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用下列计算公式.3.常用计算公式（1）S′=S.cosα（2）cosθ=cosθ1·cosθ2能想象上式中α，θ，θ1，θ2是什么角，S，S′表示什么吗？(3)异面直线上两点间距离公式:设异面直线a，b所成角为θ则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ三、双基题目练练1．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为（）A．600B.900C.450D.12002.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是（）A.13B.11C.9D.73.三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cosα+cosβ+cosγ等于（）A.1B.2C.D.4.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.5．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或θθ1互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______.6。正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____．◆答案提示：1-3．ABA；4.；2．提示：作PO⊥平面ABC于O，则O是Δ的外接圆圆心，且∠AOB=1200……3．提示：四个面全等，设面积为S，设三个侧面在底面上的射影分别是S1、S2、S3，则S=S1+S2+S3=Scosα+Scosβ+Scosγ…5．“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那麽这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的.6。四、以典例题做一做【例1】如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600.（1）求异面直线DA与BC所成的角；（2）求异面直线BD与AC所成的角；（3）求D到BC的距离；（4）求异面直线BD与AC的距离.解析：（1）DA与BC成600角（2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，则OF//BD，求∠AOF即为异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF=arccos（3） BA⊥平面ADE∴平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC∴DN是D到BC的距离DCBAFOMDECNBA2在△DMN中，DM=a，MN=a∴DN=a（4） BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF∴AC∥平面BDF；又BD平面BDF∴AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ，∴，即异面直线BD与AC的距离为◆评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.【例2】（2006邯郸二模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点,(Ⅰ)求证：CM∥侧面PAD；（Ⅱ）求直线CM与底面ABCD所成的角；（Ⅲ）求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小解：(Ⅰ)证明：作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且∴CM∥ND,CM∥平面PAD（Ⅱ） CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.DCBPAM3 侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD∴∠AND为所求； ⊿PAD是正三角形，N是PA的中点∴CM与底面所成的角为30º.（Ⅲ）延长AD、BC交于点E,连结P、E.则PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，∠APE=90º，AP⊥PE又 AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD∴AB⊥平面PAE∴BP⊥PE,∠BPA为所求二面角的平面角tan∠BPA=所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2【例3】如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.（1）求证：AB⊥PQ；（2）求点B到平面α的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.证明（1）：在平面β内作BD⊥PQ于D，连...
