直线与圆锥曲线的位置关系【考点诠释】：能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题;能够正确运用圆锥曲线的第一定义、第二定义和标准方程解决焦点弦问题,焦点三角形问题,弦中点问题.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,且常以中、高档题目出现.特别是弦长、弦中点、定值与最值问题、轨迹问题、是高考的热点.这部分对运算能力、分析综合能力要求较高,要给予相当重视.【知识整合】：1.判断直线L与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线L的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的一元方程.即Ax+By+C=0F(x,y)=0消去y后得ax2+bx+c=0.(1)当a≠0时,则有⊿>0,直线L与曲线C；⊿=0,直线L与曲线C;⊿<0,直线L与曲线C.(2)当a＝0时,即得到一个一次方程,则L与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线L与双曲线的渐近线是;若C为抛物线,则直线L与抛物线的对称轴的位置关系是.2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|.3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程.(1)AB是椭圆(a>b>0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0),则AB的斜率为.运用点差法求AB的斜率.设A(x1,y1)B(x2,y2).A、B都在椭圆上,两式相减得即故kAB=(2)运用类比的手法可以推出已知AB是双曲线的弦,中点M(x0,y0),则kAB=;已知抛物线y2=2px(p>0)的弦的中点M(x0,y0),则kAB=.用心爱心专心【基础再现】：1.直线y=kx+与曲线y2-2y-x+3=0只有一个公共点,则k的值为()A.o或B.0或C.-或D.0或-或2.直线2x-y-1=0与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=,则|y1-y2|=3.点P(8,1)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦,这条弦所在的直线方程是.4.给出下列曲线:①4x+2y-1=0②x2+y2=3③+y2=1④-y2=1其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是()A.①③B.②④C.①②③D.②③④【例题精析】：例1、过点P(-1,1),作直线与椭圆交于A、B两点,若AB的中点恰为P点，求AB所在直线的方程和线段AB的长度.例2、抛物线(y+m)2=4(x+n)的焦点在直线y=x-1上滑动，试问：能否滑到使抛物线截直线y=所得弦长与y轴所得的弦长相等？若能，求出此时的抛物线方程，若不能，说明理由。例3、过椭圆(a>b>0)上的动点P，引圆O:x2+y2=b2的两条切线PA、PB.切点分别为A、B，直线AB与y轴、x轴分别交于M、N，求△MON面积的最小值。例4、（2004江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).(1)求椭圆的方程；(2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线L与y轴交于点M.若||=2||,求直线L的斜率.例5、已知双曲线C：2x2-y2=2与点P(1,2)①求过点P(1,2)的直线L的斜率k的取值范围，使L与C分别有一个交点、两个交点、没有交点.②是否存在过P点的弦AB,使AB的中点为P.③若Q(1,1)试判断以Q点为中点的弦是否存在。【精彩小结】：1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上上研究由它们的方程构成方程用心爱心专心组是否有解或解的个数问题,通过消元后最终归结为讨论一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数问题.要注意a=0与a≠0的情形,只有a≠0时才可用判别式来确定解的个数.当直线平行于抛物线的对称轴时,直线与抛物线只有一个公共点;当直线平行于双曲线的渐近线时,直线与双曲线相交且只有一个公共点,这往往容易被疏忽,要引起重视.2.涉及弦长问题时,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及弦的中点及中点弦问题,利用点差法较为简便.3.要注意判别式和韦达定理在解题中的作用.应用判别式,可以确定直线与圆锥曲线的位置关系,确定曲线的范围,求几何极值等.应用韦达定理,可以解决相交时的弦长问题,弦的中点坐标问题,与线段的和、积有关的定值或最值问题.【随堂巩固】：一.选择题:1.过双曲线的右交焦点作直线L,交双曲线于A、B两点,若AB=4,则这样的直线L有()A.1条B.2条C.3条D.4条.2.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系是()A.m+n=4B.m+n=mnC.mn=4D.m+n=2mn3.若椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0)与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与直线AB中点的连线的斜率为22,则的值为()A.B.C.D.4.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,过点F且斜率为k...
