第三节平面向量的数量积考点串串讲1．两向量的夹角如图所示，已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.注意(1)作a与b所成的角时，应注意“平移共始点”．(2)两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，而向量的夹角可以是钝角，其取值范围是0°≤θ≤180°.2．两个向量数量积的定义已知非零向量a，b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.注意(1)结合物理学中力做功的背景来理解向量的数量积定义．(2)两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，它的值为两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定．(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，又称“点乘”，与以前所学实数的乘法是有区别的．在书写时，一定要严格区分，不可省略不写或混淆．3．向量数量积的几何意义对于a·b＝|a||b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的数量(θ为向量a与b的夹角)．当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是0；当θ＝0°时，它是|b|；当θ＝180°时，它是－|b|.注意(1)|b|cosθ叫做b在a方向上的数量，是实数而不是向量．b在a方向上的数量|b|cosθ＝·b.(2)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b＝0，这是因为当b与a的夹角为90°时，都有a·b＝0.4．平面向量数量积的运算性质(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.注意①向量数量积运算所满足的是交换律、数乘结合律及加乘分配律，但不适合乘法结合律．如：(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，故二者未必相等．②向量的数量积不满足运算的消去律，如a·b＝c·b⇒/a＝c.5．平面向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)若a与b同向，则a·b＝|a||b|，若a与b反向，则a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.用心爱心专心1(4)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.注意①a·a＝a2＝|a|2＝|a|·|a|，即|a|＝，这些性质在化简、求证中涉及向量长度的相关问题中起到重要作用．②cosθ＝是平面向量数量积公式的变形，常用来求两向量的夹角问题．③a·b＝0⇔a与b垂直．④|a·b|≤|a||b|可用于证明不等式问题．6．平面向量数量积的几何表示与坐标表示(1)平面向量的数量积几何表示定义：a·b＝|a||b|cosθ(a≠0，b≠0,0°≤θ≤180°)0·a＝0坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2(2)平面向量数量积的重要性质几何表示①|a|＝＝＝②cosθ＝③|a·b|≤|a||b|坐标表示①|a|＝②cosθ＝③|x1x2＋y1y2|≤·典例对对碰题型一数量积的概念例1设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线．给出下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b与c不可能垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有()A．①②B．②③C．③④D．②④分析由数量积的概念、性质及其运算去判断．解析(a·b)c是与向量c平行的向量，(c·a)b是与向量b平行的向量，因此(a·b)c与(c·a)b不一定相等．故①不正确；因为a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知②正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，因此(b·c)a－(c·a)b与c垂直，③不正确；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2.④正确，故选D.答案D变式迁移1已知下列各式：①|a|2＝a2，②＝，③(a·b)2＝a2·b2，用心爱心专心2④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析①中a2＝a·a＝|a||a|cos0°＝|a|2，所以①正确．②中a，b不共线时，无意义．③中(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ＝a2·b2cos2θ，...
