可逆矩阵判定典型例题VIP免费

典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若0||A,则TTAA)()(11；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则***)(ABAB；（3）TTAA)()(**；（4）若0||A,则*11*)()(AA；（5）*1*)1()(AAn；（6）若0||A,则llAA)()(11（l为自然数）；（7）*1*)(AkkAn.证（1）因为0||A,故A是可逆矩阵,且EAA1两边同时取转置可得EEAAAATTTT)()()(11故由可逆矩阵的定义可知TA)(1是AT的逆矩阵.即11)()(TTAA（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有EABABAB||)()(*（2-7）另一方面BIABBAABABAB)|(|)())((*****EABEBABBA||||||||*（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***ABABABAB又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘1)(AB可得***)(ABAB（3）设n阶方阵A为nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211于是可得A的伴随矩阵*A为nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*注意到A的转置矩阵为nnnnnnTaaaaaaaaaA212221212111可推出TA的伴随矩阵为nnnnnnTAAAAAAAAAA212222111211*)(比较*A与*)(TA可知**)()(TTAA（4）因为0||A,故A可逆,A的逆矩阵为1A,并且由EAAA||*可知1*||AAA由于0||A,1A可逆且EAAA||)(1*11可得AAA||1)(*1另一方面,由EAAAAAA||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知,*A可逆,并且*11*)()(AA（5）对于（3）给出的矩阵A,有nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211即ija的代数余子式为nnnjnjnnijijiinijijiinjjjiaaaaaaaaaaaaaaaa111111111111111111111111)1(),,2,1,()1(1njiAijn故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AAAAAAAAAAAnnnnnnnnnnnnnnnn（6）因为0||A,故A可逆,并且llAAAAAAAA)()()(111111（7）对于（3）给出的矩阵A,有nnnnnnkakakakakakakakakakA212222111111类似于（5）可知ijka的代数余子式为ijnAk1,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵*A满足TAA*,证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有EAAAAA||**反证,假设A不可逆,故有0||A,由上式及条件TAA*,有OAAAAT*（2-6）设矩阵A为nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211由式（2-6）可知nnnnnnnnnnnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaaAA212221212111212222111211Oaaaaaaaaaaaaaaanininiininiinininiiniiniiininiiniiinii1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有),,2,1(012njaniji故),,2,1(021njaaajnjj因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：111)(BAAB的充要条件是BAAB证必要性：因为1111)()(BABAAB因此)())(()())((11BABAABBAABAB即BAAB充分性：因为BAAB,故1111)()(BABAAB.例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且1,1||AAAT,证明)(AI不可逆.证因为1AAT,故EAAAAT1因此有|)(|||||EAAAAAAETT|||)(|||EAEAAT||||)1(AEAEn所以0||AE故AE是不可逆矩阵.例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足OAk,证明AE是可逆矩阵,并求1)(AE.证由于)1)(1(112kkxxxxx故对于方阵A的多项式,仍有))((12kk...