高中数学教案：平面向量的数量积及其运算律（原创）VIP免费

平面向量的数量积及其运算律导学目标1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质。2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。3．通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知识以及合作交流的学习品质。导学重点平面向量的数量积导学难点向量数量积的运算及其性质导学过程一、导入我们已经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。问题物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？通过对物理公式cossFW（其中是F与s的夹角）的分析，得到如下结论：（1）功W是两个向量F和s的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量；（2）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力F与位移s的夹角有关。由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算。二、导疑、导研问题从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论）平面向量的数量积（1）最初的认识学生讨论：如把力F和位移s抽象地看成两个“向量”，把力F与位移s的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量ba,得到一个数量（即cosba）的运算，这里是向量ba,的夹角。（2）进一步表述引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a和b的数量积（或内积），记作ba，即ba=cosba。两个向量的夹角问题在上面的向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，得到下面的结论：对于两个非零向量a和b，作bOBaOA,，则AOB（001800）叫做用心爱心专心向量a和b的夹角。特别地，当向量a与b的夹角分别等于00180,0和090时，两个向量分别是同向、反向和垂直。向量a与b垂直，记作ba。在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零”限制。平面向量的数量积（3）表述的精确化问题在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？问题零向量有没有数量积？应该如何定义？问题在实际的“求功运算”中是怎样解决这个问题的？通过讨论，得到“数量积”的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a和b的数量积（或内积），记作ba，即ba=cosba。同时规定：0与任何向量的数量积为0，即00a。（4）对定义的理解①尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了。一般地，它已经不具有“求功”的具体意义了。在引入向量的数量积以后，物理学中的功的概念就可以用数学语言表述为：功就是力与在其作用下物体产生的位移的数量积，即sFW②两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。③注意：00a，等式右边的零是一个实数，而不是零向量。数量积的运算性质问题向量的数量积有什么样的性质？在实数乘法中，我们有：ba,同号时，baba，特别地aaa，ba,异号时，有baba。在向量的数量积中，类似的结论成立吗？经过讨论得到下面的结论：当a与b同向时，baba，特别地，2aaa或aaa；当a与b反向时，baba。用类似的方法，可以得到下面的结论：设向量cba,,和实数，则向量的数量积满足下列运算律：①abba；用心爱心专心②babababa)()()(；③cbcacba)(三、导练例1判断下列说法是否正确：①向量的数量积可以是任意实数。②若0a，则对任意向量b，有0ba。③若0a，则对任意非零向量b，有0ba。④如果ba＞0，那么a与b的夹角为锐...