高中数学笔记-4-数列VIP专享VIP免费

高中数学笔记----------4-数列基本概念：1.等差数列{an}中:(1)an=a+(n－1)d=am+(n－m)d;p+q=m+nap+aq=am+an.(2)a1+a2+…+am,ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等差数列.(3)ap=q,aq=p(p≠q)ap+q=0;Sp=q,Sq=p(p≠q)Sp+q=－(p+q);Sm+n=Sm+Sn+mnd⑷S2n-1=an(2n-1)（常用于数列的比较中和代换中）;Snn为等差数列，公差为d∕23.等比数列{an}中;(1)m+n=r+s,am·an=ar·as(2)a1+a2+…+am,ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等比数列(4)注意:a①n－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)S②m+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.4.等差数列与等比数列的联系(1)如果数列{an}成等差数列,那么数列{}(总有意义)必成等比数列.(2)如果数列{an}成等比数列,那么数列{}(a>0,a≠1)必成等差数列.(3)如果数列{an}既成等差数列也成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列;数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.(4)如果两等差数列有其公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.5.数列求和的常用方法.(1)公式法:①等差数列求和公式,②等比数列求和公式③常用公式:,12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),13+23+33+------+n3=14[n（n+1）]2(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将"和式"中"同类项"先合并在一起,再运用公式法求和.(3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,则常考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和.(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为"一个新的等比数列的和"求解".(5)裂项相消法:如果数列的通项可"分裂成两项差"的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和,常用裂项形式有:①②③;④⑤⑥⑦1n2<2（12n−1--12n+1）；1n2<3（13n−2--13n+1）（注意:运用等比数列求和公式时,务必检查其公比与1的关系,必要时应分类讨论.裂项相消法更多的用于数列中不等式的证明）6.数列的通项的求法:（11种类型）类型1an+1=an+f(n)；（累加法）解法：把原递推公式转化为an+1−an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{an}满足a1=12，an+1=an+1n2+n，求an。解：由条件知：an+1−an=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1分别令n=1,2,3,⋅¿⋅¿⋅¿,(n−1)，代入上式得(n−1)个等式累加之，即(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+¿⋅¿⋅¿⋅+(an−an−1)=(1−12)+(12−13)+(13−14)+¿⋅¿⋅¿⋅+(1n−1−1n)所以an−a1=1−1n a1=12，∴an=12+1−1n=32−1n备注：此题目还有一种更为简便的方法。an+1−an=1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1；⟹an+1+1n+1=an+1n=…….a1+1=1.5；然后即可求得通项类型2an+1=f(n)an（累乘法）解法：把原递推公式转化为an+1an=f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{an}满足a1=23，an+1=nn+1an，求an。解：由条件知an+1an=nn+1，分别令n=1,2,3,⋅¿⋅¿⋅¿,(n−1)，代入上式得(n−1)个等式累乘之，即a2a1⋅a3a2⋅a4a3⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿anan−1=12×23×34׿⋅¿⋅¿⋅¿n−1n⇒ana1=1n又 a1=23，∴an=23n；同样该题也有更为简便的方法；an+1=nn+1an⇒（n+1¿an+1=nan=a1例3:已知a1=3，an+1=3n−13n+2an(n≥1)，求an。解：an=3(n−1)−13(n−1)+2⋅3(n−2)−13(n−2)+2⋅¿⋅¿⋅3×2−13×2+2⋅3−13+2a1。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+¿⋅¿+(n−1)an−1(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+¿⋅¿+(n−1)an−1+nan，用此式减去已知式，得当n≥2时，an+1−an=nan，即an+1=(n+1)an，又a2=a1=1，3437526331348531nnnnn∴a1=1,a2a1=1,a3a2=3,a4a3=4,⋅¿⋅,anan−1=n，将以上n个式子相乘，得an=n!2(n≥2)小结：很多题目他不会告诉你是哪种类型，往往要通过一步或两步的变形。而这题所用的两式相减是非常常见的也是非常有效的。常用于关系式不只是an和an+1的关系。类型3an+1=pan+f（n）；（构造法）通常构造为an+1+bn+1=p（an+bn）；①：an+1=pan+q（其中p，q均为常数，(pq(p−1)≠0)）。形如an+1=pan...