一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组y2＝4xy＝2x＋b有两个实数解x＝x1y＝y1和x＝x2y＝y2，且x1x2≠0，x1≠x2．（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得1x1＋1x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足x＋y＝3a－1x2＋y2＝4a2－2a＋2，求xy的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1） 关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5（2） △＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点NEFMxyyy（3） 抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解： △＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根 x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2 |α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m≤1523．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：（1） x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根∴a－6≠04a2－4a(a－6)≥0即a≠6a≥0假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋(x1＋x2)－x1x2＝0∴4＋－2aa－6－aa－6＝0，得a＝24 a＝24满足a≥0且a≠6∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立（2） (x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝－aa－6∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两...
