《创新方案》届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练提能训练(浙江专版):第1部分专题六第4讲高考中的概率解答题型(以年真题和模拟题为例,含答案解析)1.某中学经市人民政府批准建分校,工程从年年底开工到年年底完工,分三期完成.经过初步招标淘汰后,确定由甲、乙两家建筑公司承建,且每期工程由两公司之一独立承建,必须在建完前一期工程后再建后一期工程.已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为,,.(1)求甲、乙两公司各至少获得1期工程的概率;(2)求甲公司获得的工程期数ξ的分布列和数学期望E(ξ).解:(1)由题意,甲、乙两公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权是相互对立的,所以乙公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为,,.“法一:记甲、乙两公司各至少获得1”期工程为事件A“,记甲公司获得1期工程,乙公司获得2”期工程为事件B“,记甲公司获得2期工程,乙公司获得1”期工程为事件C.P(B)=××+××+××=;P(C)=××+××+××=.因为事件A包含事件B和事件C,且事件B,C互斥,所以P(A)=P(B)+P(C)=+=.“法二:记甲、乙两公司各至少获得1”期工程为事件A,记其对立事件为,则表示事件“甲公司获得3期工程或乙公司获得3”期工程.则P(A)=1-P()=1-=.(2)由题意知,ξ表示甲公司获得的工程期数,其所有可能的取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=××=;P(ξ=1)=××+××+××=;P(ξ=2)=××+××+××=;P(ξ=3)=××=.所以ξ的分布列为ξ0123P数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.2.(·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.解:(1)“记甲队以3∶0”胜利为事件A1“,甲队以3∶1”胜利为事件A2“,甲队以3∶2”胜利为事件A3.由题意知,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=3=,P(A2)=C2×=,P(A3)=C22×=.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.(2)“设乙队以3∶2”胜利为事件A4,由题意,知各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=C22×=.由题意,知随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,又P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=.故X的分布列为X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.3.(·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为X400500800PE(X)=400×+500×+800×=506.25.4.(·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位...