《创新方案》届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第3讲第一课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题（以年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(·陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．解：(1)如图1，设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2，化简得＋＝1，图1∴动点M的轨迹方程为＋＝1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，图2由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①x1x2＝.②又A是PB的中点，故x2＝2x1，③将③代入①②，得x1＝－，x＝，可得2＝，且k2＞，解得k＝－或k＝，∴直线m的斜率为－或.法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.∵A是PB的中点，∴x1＝，①y1＝.②又＋＝1，③＋＝1，④联立①②③④，解得或即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m的斜率为－或.2．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N分别为其左、右顶点，过F2的直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足||＝||＋||.(1)求此椭圆的方程；(2)当直线l绕着焦点F2旋转但不与x轴重合时，求·＋·的取值范围．解：(1)当直线l与x轴垂直时，由S四边形AMBN＝·2a·＝2，得b＝1.又||＝||＋||，所以a＋c＝·＋a－c，即ac＝，又a2＝c2＋1，解得a＝.因此该椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，而M(－，0)，N(，0)，所以＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，＝(－－x2，－y2)，＝(－x2，－y2)．从而有·＋·＝(－－x1)(－x1)＋y＋(－－x2)(－x2)＋y＝x＋x＋y＋y－4＝(x1＋x2)2－2x1x2＋(y1＋y2)2－2y1y2－4.因为直线l过椭圆的焦点F2(1,0)，所以可以设直线l的方程为x＝ty＋1(t∈R)，则由消去x并整理，得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0(Δ＞0恒成立)，所以y1＋y2＝，y1y2＝.从而x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝，x1x2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＝，可得·＋·＝2－2＋2－2－4＝－.令t2＋2＝m，则m≥2.从而有·＋·＝－＝82－，而0≤＜，所以可以求得·＋·的取值范围是.3．设点P是曲线C：x2＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋＝，解得p＝.所以曲线C的方程为x2＝y.(2)由题意知直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，则点M.联立方程消去y，得x2－kx＋k－1＝0，解得x1＝1，x2＝k－1，则Q(k－1，(k－1)2)．所以直线QN的方程为y－(k－1)2＝－(x－k＋1)，代入曲线y＝x2中，得x2＋x－1＋－(1－k)2＝0，解得x3＝k－1，x4＝1－－k，则N.所以直线MN的斜率kMN＝＝－.又易知过点N的切线的斜率k′＝2.由题意有－＝2.解得k＝.故存在实数k＝满足题意．4．(·海淀模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点．试问x轴上是否存在定点Q，使得·＝－恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c＝1.根据椭圆的定义得2a＝＋，即a＝.所以b2＝2－1＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)假设在x轴上存在点Q(m,0)，使得·＝－恒成立．当直线l的斜率为0时，A(，0)，B(－，0)，则(－m,0)·(－－m,0)＝－，解得m＝±.当直线l的斜率不存在时，A，B.由于·≠－，所以m≠－.下面证明m＝时，·＝－恒成立．显然直线l的斜率为0时，·＝－.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由可得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0.显然Δ＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝－.因为x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1，所以·＝＋y1y2＝(t2＋1)y1y2－t(y1＋y2)＋＝－(t2＋1)＋t＋＝＋＝－.综上所述，在x轴上存在点Q，使得·＝－恒成立．
