高中数学教（学）案第6讲：空间向量的坐标运算VIP免费

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题知识点归纳1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk�，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233abababab，112233//,,()ababababR，1122330abababab．（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz�．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，用心爱心专心则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb．5．夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb．6．两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz�，或222,212121()()()ABdxxyyzz题型讲解例1已知AB�=（2，2，1），AC�=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量解：设面ABC的法向量(,,)nxyz，则n⊥AB且n⊥AC，即n·AB=0，且n·AC=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得1,2,xzyz∴n=z（21，－1，1），单位法向量0||nnn=±（31，－32，32）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则OP�=21（OA�+OB�）=21［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，25），∴点P的坐标是（2，1，25），dAB=222)14()20()31(=17（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，则222)1()2()3(zyx=222)4()1(zyx化简得4x+4y－6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件用心爱心专心点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（221xx，221yy，221zz），且|P1P2|=221221221)()()(zzyyxx例3棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），AP�=（－a，0，z），AC�=（－a，a，0），1DB�=（a，a，a）， B1D⊥面PAC，∴1DB�·AP�=0，1DB�·AC�=0∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29（1）求证：SC⊥BC；（2）求...