《创新方案》届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第6讲第一课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（以年真题和模拟题为例，含答案解析）1．设函数f(x)＝mx3＋(4＋m)x2，g(x)＝aln(x－1)，其中a≠0.(1)若函数y＝g(x)的图像恒过定点P，且点P关于直线x＝的对称点在y＝f(x)的图像上，求m的值；(2)当a＝8时，设F(x)＝f′(x)＋g(x＋1)，讨论F(x)的单调性．解：(1)令ln(x－1)＝0，则x＝2，∴函数y＝g(x)恒过点(2,0)．又点P(2,0)关于x＝的对称点为(1,0)，∴由题设条件得f(1)＝0，即m＋(4＋m)＝0，解得m＝－3.(2)由题意知，f′(x)＝mx2＋2(4＋m)x，g(x＋1)＝8lnx，故F(x)＝mx2＋2(4＋m)x＋8lnx，x∈(0∞，＋)，F′(x)＝2mx＋(8＋2m)＋＝＝. x>0，x＋1>0，∴当m≥0时，2mx＋8>0，F′(x)>0，此时F(x)在(0∞，＋)上为增函数；当m<0时，由F′(x)>0得0
－，此时F(x)在上为增函数，在上为减函数．综上，当m≥0时，F(x)在(0∞，＋)上为增函数；当m<0时，F(x)在上为增函数，在上为减函数．2．(·四川高考)已知函数f(x)＝其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(∞－，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1.当x＜0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2.因为x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立．所以函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.(3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.当x1＜0时，函数f(x)的图像在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x＋a.当x2＞0时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0.由①②得，a＝x＋ln－1＝x－ln(2x1＋2)－1.设h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，则h′(x1)＝2x1－＜0.所以h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数．则h(x1)＞h(0)＝－ln2－1，所以a＞－ln2－1.又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(－ln2－1∞，＋)．故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln2－1∞，＋)．3．(·太原模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2－x(a∈R)．(1)当a＝2时，求y＝f(x)的单调区间和极值；(2)若y＝f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝lnx－x2－x，其定义域为(0∞，＋)，∴f′(x)＝－2x－1＝－＝－. 令f′(x)>0，则0，∴是f(x)的单调递增区间，是f(x)的单调递减区间，当x＝时，y＝f(x)取极大值－－ln2.(2) f(x)＝lnx－ax2－x，∴f′(x)＝－ax－1＝－(x>0)． y＝f(x)存在单调递减区间，∴f′(x)<0在(0∞，＋)上有解，又 x>0，则ax2＋x－1>0在(0∞，＋)上有解，①当a＝0时，x>1在(0∞，＋)上有解；②当a>0时，ax2＋x－1>0在(0∞，＋)上总有解；③当a<0时，要使ax2＋x－1>0在(0∞，＋)上有解，只需ax2＋x－1＝0有两个不相等正实数根，∴解得－0)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知对任意的x>0，ax(2－lnx)≤1恒成立，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意知x>0，f′(x)＝－(a>0)．(1)由f′(x)>0解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间是；由f′(x)<0解得x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.所以当x＝时，函数f(x)有极小值f＝aln＋a＝a－alna.(2)设g(x)＝...
