“4”道保分题专练卷(一)1．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴A＝.(2)由(1)可得m＝，n＝.∴||＝p，||＝q.∴S△ABC＝||·||·sinA＝pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴·≤，∴·≤3.∴p·q≤9.∴△ABC的面积的最大值为×9＝.2．某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：树干周长(单位：cm)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]株数(单位：株)418x6(1)求x的值；(2)若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现从这4株树中随机抽取2株，求抽取到的第2株患有虫害的概率．解：(1)∵用分层抽样法从这1000株树木中随机抽取100株，∴应该抽取银杏树100×＝40(株)．∴4＋18＋x＋6＝40，∴x＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树．记恰好抽取到第2株时发现患虫害的树为事件A，则A是指抽取到的第2株是树4.求抽取到的第2株患有虫害的概率，基本事件为(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)，(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)，共计12个，事件A中包含的基本事件有3个，∴抽取到的第2株患有虫害的概率P(A)＝＝.3．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，即＝，由是等差数列，得到则d＝且d＝2a1＞0，所以d＝，a1＝＝，an＝＋(n－1)·＝.(2)由b1＝a1＝，b2＝a2＝，b3＝a5＝，得等比数列{bn}的公比q＝3，所以bn＝×3n－1，所以cn＝＝＝－，Tn＝1…－＋－＋＋－＝1－＝.4．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝BC＝4，∠ABC＝60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．(1)求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；(2)设二面角A1EDA的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin(α＋β)的值．解：(1)证明：∵AB＝BE＝2且∠ABC＝60°，∴∠AEB＝60°.∵CE＝CD＝2且∠BCD＝120°，∴∠CED＝30°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥ED.∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，∴ED⊥平面A1AEF，∴平面A1ED⊥平面A1AEF.(2)∵ED⊥平面A1AEF，∴A1E⊥ED，AE⊥ED，∴∠A1EA为二面角A1EDA的平面角，即∠A1EA＝α.sinα＝＝，cosα＝.过A作A1E的垂线，垂足为H，连接HD，∵ED⊥平面A1AEF，∴ED⊥AH，∴AH⊥平面A1ED，∴∠ADH为直线AD与平面A1ED所成的角β，即∠ADH＝β，易得AH＝，sinβ＝＝cosα，∴α＋β＝90°，sin(α＋β)＝1.
