第四节合情推理与演绎推理[全盘巩固]1．已知数列an…：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为()A.B.C.D.解析：选A通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：，分子、分母之和为2；第二组有两个数：，，分子、分母之和为3；第三组有三个数：，，，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99＝，a100＝.故a99＋a100＝.2．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52…据此你可归纳猜想出一般结论为()A．1＋3＋5…＋＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5…＋＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5…＋＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5…＋＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)3．(·金华模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，则S2013＝()A．－B．－C．－D．－解析：选D利用归纳推理求解．由Sn＋＋2＝an＝Sn－Sn－1，得＝－Sn－1－2(n≥2)，又S1＝a1＝－，所以S2＝－，S3＝－，S4＝－.由归纳推理可得S2013＝－解析：选D观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2.4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”“类比得到a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”“类比得到(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”“类比得到(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”“类比得到p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”“类比得到|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“”“”＝类比得到＝．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B①②正确，③④⑤⑥错误．5．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12…，，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92解析：选B通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.6．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体SABC的体积为V，则R＝()A.B.C.D.解析：选C设三棱锥的内切球球心为O，那么由V＝VOABC＋VOSAB＋VOSAC＋VOSBC，即V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，可得R＝.7．观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________________________________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的结构形式，且α、β、γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝18．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋7…23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19…根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5…＋＋11，p3的分解中最小的正整数是21，则m＋p＝________.解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7…，，可知n2＝1＋3＋5…＋＋(2n－1)．由m2＝1＋3＋5…＋＋11，可知m＝6.易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p＝5.故m＋p＝11.答案：119．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．则f(n)的表达式为________________．(1)(2)(3)(4)解析：我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－...
