高考数一轮复习 第九章 第一节 变化率与导数、导数的计算突破热点题型 文VIP免费

第一节变化率与导数、导数的计算考点一导数的计算[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝.[自主解答](1) y＝(1－)＝－＝x－－x，∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.(2)y′′＝＝＝＝.(3)y′′＝＝＝＝.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(5)y′＝＝＝.【互动探究】若将本例(3)“中tanx”“改为sin”，应如何求解？解： y＝sin＝－sincos＝－sinx，∴y′＝－cosx．【方法规律】导数的计算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x.解：(1) y＝＝x－＋x3＋，y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(2) y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.(3) y＝＋＝，∴y′′＝＝＝.(4) y＝＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.(5)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′＝－(3－x)－＋2e2x.[例2](1)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e(2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215(3)(·江西高考)设函数f(x)在(0∞，＋)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.[自主解答](1) f(x)＝2xf′(1)＋lnx，∴f′(x)′＝＋(lnx)′＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.(2)因为f′(x)＝x′·′＋·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′＋·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.(3)令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.[答案](1)B(2)C(3)2【方法规律】导数运算的两个技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误．1．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是()A．f＝fB．f>fC．ff.2．(·台州模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)…，，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2014(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：选Cf1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(sinx＋cosx)′＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx－cosx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx.故fn(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝503×4＋2，∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx＋cosx.高频考点考点二导数的几何意义1．导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．2．高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；(3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围．[例3](1)(·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．(2)(·广东高考)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.(3)(·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.(4)(·南京模拟)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．[自主解答]...