高考数一轮复习 第三章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式突破热点题型 文VIP免费

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考点一同角三角函数基本关系式的应用[例1]已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值．[自主解答](1)法一：联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0. α是三角形内角，∴∴tanα＝－.法二： sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝. sinαcosα＝－<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝.由得∴tanα＝－.(2)＝＝＝. tanα＝－，∴＝＝＝－.【互动探究】保持本例条件不变，求：(1)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值．解：由例题可知tanα＝－.(1)＝＝＝.(2)sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－.【方法规律】同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.B．－C．－2D．2解析：选A由＝5，得＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.2．(·杭州模拟)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.解析：依题意得由此解得cos2α＝，又α∈，因此cosα＝－.答案：－考点二诱导公式的应用[例2](1)(·长沙模拟)若cos＝－，则sin＝()A.B．－C.D．－(2)已知α为第三象限角，f(α)＝，①化简f(α)；②若cos＝，求f(α)的值．[自主解答](1) －＝，即α－＝－，∴sin＝sin＝－sin＝－cos＝.(2)①f(α)＝＝＝－cosα.② cos＝，∴－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.[答案](1)A【互动探究】在本例(1)的条件下，求cos的值．解： ＋＝π，即－α＝π－，∴cos＝cos＝－cos＝.【方法规律】利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．解： cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)·＝sinα·tan＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.高频考点考点三两类公式在化简与求值中的应用1．高考单独考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的题目多以选择题或填空题的形式出现，难度偏小，属中低档题．2．高考对同角三角函数基本关系式与诱导公式在化简与求值中的应用主要有以下几个命题角度：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．[例3](1)(·广东高考)已知sin＝，那么cosα＝()A．－B．－C.D.(2)(·辽宁高考)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－C.D．1(3)(·福建高考)若tanα＝3，则的值等于()A．2B．3C．4D．6(4)(·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D．2－1[自主解答](1)sin＝sin＝sin＝cosα＝.(2) sinα－cosα＝，∴sin＝，∴sin＝1.又 0＜α＜π，∴α－＝，α＝，tanα＝－1.(3)＝＝＝2tanα.又tanα＝3，故＝2tanα＝2×3＝6.(4)4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.[答案](1)C(2)A(3)D(4)C化简求值问题的常见类型及解题策略(1)知弦求弦．利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．(2)知弦求切．常通过平方关系，对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，注意tanα＝的灵活应用．(3)知切求弦．通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后利用平方关系求解．1．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C等于()A.B.C.D.解析：选C sin＝3sin(π－A)，∴cosA＝3sinA，即tanA＝.又 A∈(0，π)，∴A＝.由cosA＝－cos(π－B)，得cosA＝cosB.∴cosB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故C＝π－－＝.2．(·金华模拟)已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，则＝()A.B．－...