双曲线的几何性质教学目标（1）了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等；（2）能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题；（3）能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程；（4）掌握,,,abce之间的关系及相应的几何意义．教学重点，难点双曲线的几个简单几何性质．教学过程一．问题情境1．情境：在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质．2．问题：双曲线22221xyab有哪些性质？三．建构数学1．范围由双曲线方程22221xyab，可得221xa，即xa或xa．这表明双曲线在不等式xa与xa所表示的平面区域内．思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？由双曲线方程22221xyab可知22220xyab，即()()0xyxyabab，从而0,0,xyabxyab或0.0.xyabxyab所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线byxa和byxa为边界的平面区域内．2．对称性在双曲线的标准方程中，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的．所以坐标轴用心爱心专心是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．3．顶点双曲线22221xyab与x轴的两个交点1(,0)Aa，2(,0)Aa称为双曲线的顶点．记12(0,),(0,)BbBb．则线段12AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段12BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长4．渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线byxa和byxa为边界的平面区域内那么，从,xy的变化趋势看，双曲线22221xyab与直线byxa具有怎样的关系？根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线byxa的关系．如图，设(,)Mxy为双曲线在第一象限的点，作MNx轴，垂足为(,0)Nx．直线MN交直线byxa于点P．当N向右移动时，观察PM长度的变化．我们发现，随着x的增大，PM长度越来越接近于0．事实上，对于相同的横坐标x，直线byxa上对应的点P的纵坐标为bxa，所以PM长为22bxbPMxaaa=222baaxxa，当x趋向于正无穷大时，22xxa也趋向于正无穷大，用心爱心专心222baaxxa趋向于0．这说明，随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线byxa的下方且逐渐接近于这条直线．同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线byxa的上方且逐渐接近于这条直线．根据对称性，直线byxa也有相同的性质．我们把这两条直线byxa叫做双曲线22221xyab的渐近线．说明：（1）利用直线xa和yb所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出双曲线的草图．（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线．5．离心率：实轴长与焦距的比ca叫做双曲线的离心率，记为e．由21()cbaa可得1e．四．数学运用1．例题：例1．求双曲线22143xy的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．解由题意知224,3ab，所以2227cab，解得2,3,7abc．因此，双曲线的实轴长24a，虚轴长223b．焦点坐标为(7,0),(7,0)，顶点坐标为用心爱心专心(2,0)，(2,0)．离心率72cea．渐近线方程为32yx．例2．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的方程．解根据题意知，216c，43ca，解得6,8ac则222643628bca．因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以所求双曲线方程为2213628yx．例3．如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且30BAO，1(633)2ABFS，求该双曲线的方程．解因为30BAO，所以2,3cbab．因为11()(633)22ABFScab，所以223,9ba，所求双曲线方程为22193xy．五．回顾小结：1．根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问题；2．根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程．3．,,,abce之间的关系及相应的几何意义．用心爱心专心ABFxy0
