空间直线[基础知识]共面空间直线的位置关系异面直线[学习指导]1.分别在两个平面内的两条直线就是异面直线，对吗？不对.异面直线的定义为不同在任何一个平面内的两条直线，即不可能找到一个平面能同时包含的两条直线.如图，可举如下反例：分别在两个相交平面内的两条直线的位置关系有相交、平行和异面直线三种情形：分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系有平行和异面直线两种情形：2.如何画出两条异面直线呢？可用一个或两个辅助平面作衬托，以显示不在同一个平面内的特征.如图2-33．如何判定两条直线是异面直线？如果从立体图形上识别两条直线是否为异面直线，可根据教科书P15例3的结论判定.即：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图（2-3）.如果要证明两条直线为异面直线，常用反证法来证.4．如何求异面直线所成的角，异面直线所成的角的范围是多少？根据异面直线所成的角的定义，将两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角，即是异面直线所成的角.通过平移把两条不在同一个平面内的直线移到同一平面的位置上这种把立体图形问题转化为平面图形问题的方法在立体几何的学习中十分重要.异面直线所成的角的范围是(].5.过空间一点作已知直线的垂线有且只有一条，对吗？答：在平面几何中，这个结论是正确的，但是在空间经过一点可以作已知直线的无数条垂线，如图（2-4）过O点a⊥b，a∩b∩c=0,a⊥c平行直线相交直线1图2-2aaββbbααAbaα图2-36.如何求异面直线的距离？（1）确定两条异面直线的公垂线；注意两条异面直线的公垂线是这样一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交的两个属性.（2）计算公垂线在两条异面直线间线段的长度.与两条异面直线都垂直的直线有无数条，而异面直线的公垂线有且只有一条.异面直线的距离是这两条异面直线上两点的距离的最小值.求异面直线的距离的常用方法：（1）定义法：先作出和证出两条异面直线的公垂线，再求出公垂线段的长度；（2）转化为平行线面距离来求；（3）转化为平行平面距离来求；（4）公式法：利用异面直线上两点间距离公式；（5）最值法：根据异面直线的距离是这两条异面直线上两点的距离的最小值，利用求函数最小值的方法来求；由于同学们现在所学知识有限,（2）—（5）四种方法随着所学知识的范围扩大，逐步向同学们介绍.[例题解析]例1．已知：四边形ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，求证四边形EFGH为平行四边形.[分析]：空间四边形是同学们在立体几何中接触最早的立体图形，以此为框架，可以有许多有用的结论.本题是对课本P11例1的改编题.主要运用平面几何中三角形中位线定理和公理4来证明.[证明]：连结AC, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,∴在△ABD中，BD∥BD，且EH=BD;在△CBD中，FG∥BD，且FG=BD.∴EH∥FG，且EH=FG.∴四边形EFGH为平行四边形.[解题后的点拨]本题可以扩展为下面几个变式：已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD中点：（1）若对角线BD⊥AC，证明四边形EFGH为矩形；（2）若BD=AC，证明四边形EFGH为菱形；（3）若BD=AC，BD⊥AC，证明四边形EFGH为正方形.在证明以上几个结论中，要用到本节所学的公理4和异面直线所成的角的定义，以及平面几何的一些知识.空间四边形是四个顶点不共面的四边形，也可以看作同一平面内有一条公共边BD的两个三角形ABD和CBD沿着BD翻折而成的.如图（2-6）.因此，有关空间四边形的问题常常可以借助于平面几何中有关三角形的知识获得解决.如何将空间问题转化为平面问题解决是同学们学好立体几何的关键.2例2．已知：如图，∥c求证：b,c为异面直线.[分析]：证明两条直线是异面直线，往往采用反证法.反证法的步骤为：假设—归谬—原命题结论成立.[证明]：假设b,c共面于平面γ, ∩b=A,∥c∴过A、c确定平面β. ,∴β、γ为同一平面.∴. 为,b确定平面∴,β重合与∩β=矛盾.∴假设错误，原结论成立，即b,c异面.[解题后的点拨]证异面问题，常用反证法设共面，推出与公理、定理或已知条件矛盾，原命题成立.例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为a,已知M、N、P、Q、R、S是图中所在各...
