江西乐安一中高二数学 06简单的线性规划培优教案VIP专享VIP免费

简单的线性规划[本讲主要内容]1.二元一次不等式表示平面区域2.线性规划约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解。[学习指导]在本节的学习中我们应明确以下几个问题：1.表示的直线的某一侧的平面区域不包括边界的直线,所表示的平面区域包括边界直线.即在坐标系中画不等式表示的平面区域时,应注意用虚线和实线对它们加以区分.2.在解决“例2”那样的最值问题时,用图解法往往比用代数解法更加准确(详细说明请见例题精讲例2中的[解题后的反思])3.本节的难点在于如何将实际问题转化成线性规划问题.下面的框图概括了将实际问题转化成线性规划问题的过程(详细说明请见例题精讲例4)[例题精讲][例1]画出不等式组表示的平面区域.[分析及解]不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.不等式表示直线右下方的点的集合,表示直线右上方的点的集合,表示直线上及左下方的点的集合,所以不等式组表示的平面区域如图1所示阴影部分.[例2]已知实数x,y满足下列条件,求的最大值和最小值.[分析及解]根据已知条件知,不等式组表示的平面区域如图2所示阴影部分.1要求的最大(小)值,需弄清z扮演的是什么角色,它是直线在y轴上的截距.当(x,y)对应图2阴影部分的不同点时,z将随着x,y的不同取值而变化,要求的最大(小)值,也就是要通过运动的直线求得在y轴上的截距的最大(小)值.表示斜率为定值-2的一组平行直线.我们先作出以-2为斜率,经过(0,0)点的直线l0:2x+y=0,然后以它为基准,将它往右平行移动,在经过图2阴影部分内的点且平行于l0的直线中,以经过点D(1,1)的直线l1所对应的y轴上的截距最小,以经过点B(3,1)的直线l2所对应的y轴上的截距最大.即所以当实数x,y满足条件时,的最大值为7,最小值为3.[解题后的反思]我们用图解法解决了以上这个线性规划问题.对于这个线性规划问题能否用代数方法先求出x,y各自的取值范围,然后再求的最值呢?将不等式与相加,得到,进而解得.此时,可求出即为什么用代数方法求出的结果与用图解法求出的结果不同呢?如图3显示出表示的平面区域比表示的平面区域的范围大.从而导致z的取值范围的扩大,为什么会出现这样的问题呢?因为在由得到的过程中,我们运用了不等式的性质:“若a>b,c>d,则a+c>b+d”,而这一性质不是充要的,也就是说,只是的必要条件,而非充分条件,从而导致了x,y的取值范围的扩大.通过以上分析、比较,我们得出这样的结论:在解决像例2这样的线性规则问题时,用图解法往往比用代数法更加准确.[例3]求不等式表示的平面区域的面积.[分析及解]对于绝对值不等式,我们可采用分类讨论的方法去掉绝对值符号.等价于或或或它们所表示的平面区域是以A,B,C,D为顶点的正方形(如图4所示阴影部分)设四边形ABCD的面积为S,则所以不等式表示的平面区域的面积为8个单位面积.[例4]某工厂生产甲,乙两种产品,已知生产甲种产品1吨需耗煤9吨,电4千瓦,需劳动力3名;生产乙种产品1吨需耗煤4吨,电5千瓦,需劳动力10名.每1吨甲种产品的利润是7万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗煤不超过360吨,电200千瓦,所需劳动力不超过300名.甲,乙两种产品应各生产多少吨,能使利润总额达到最大?最大利润是多少?2[分析及解]将已知数据列成下表:资源消耗量产品煤(吨)电力(千瓦)劳动力(名)产品利润(万元/吨)甲产品(吨)9437乙产品(吨)451012资源限额360200300设生产甲,乙两种产品分别为x吨,y吨,利润总额为z万元,则作出以上不等式组所表示的平面区域(如图5),即可行域.作直线l0:7x+12y=0,将l0向右上方平行移动至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且在y轴上的截距达到最大,此时取得最大值.解方程组得M(20,24),此时(万元)答:生产甲产品20吨,乙产品24吨,可使利润总额达到最大,最大利润为428万元.[解题后的反思]像例4这样关于线性规划的实际问题的解题步骤是:(1)设出变量;(2)列出约束条件,目标函数;(3)画出可行域;(4)作出一条直线(例如z=0);(5)观察平行直线系的运动,求出目标函数的最值.(6)检验所求得的几何问题的解是否满足实际问题的要求.其中(1),(2)是建立数学模型的过程,也就是将实际问题转化为数...