导数在实际生活中的应用教学目标1．进一步掌握用导数的方法求函数最值的方法；2．会用导数解决有关面积、容积最大问题和用料最省问题的应用题，体现数学的价值．教学重点，难点提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力．教学过程一．问题情境1．情境：导数在实际生活中有着广泛的应用。如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决。2．问题：用导数求函数的最大值和最小值的方法和步骤是什么？二．学生活动：求函数31()443fxxx在[0,3]上的最大值和最小值。三．数学运用1．例题：例1．用边长为60cm的正方形铁皮的四角切去一个边长相等的小正方形，然后把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。问箱底边的长取多少时，箱子的容积最大，最大容积是多少？解：设箱底边长为xcm，则水箱高（单位：cm）为：602xh，箱子容积（单位：3cm）为：23260()(060)2xxVVxxhx，问题的实际情况来看，如果x过小，水箱的底面积就很小，容积V也就很小；如果x过大，水箱的高就很小，容积V也就很小；因此，其中必有一适当的x值，使得容积V取得最大值．求()Vx的导数，得23()602Vxxx，令()0Vx，即236002xx，解得：10x（不合题意，舍去），240x用心爱心专心当x在(0,60)内变化时，导数()Vx的正负如下表：x(0,40)40(40,60)'()Vx＋0因此在40x处，函数()Vx取得极大值，并且这个极大值就是函数()Vx的最大值．最大容积26040(40)40160002V答：箱子底边长取40cm时，容积最大；最大容积为316000cm．说明：求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：（1）建立目标函数：细致分析实际问题的各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，建立函数关系式()yfx，根据实际意义确定()yfx的定义域；（2）求'()fx，解方程'()0fx得出所有的实根；（3）具体判断，得出结果．例2．某种圆柱形的饮料罐的体积一定时，如何确定它的高和底半径，使得所用材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积2()22SRRhR又2VRh（定值），则2VhR，∴2222()222VVSRRRRRR由22()40VSRRR，得32VR，∴2VhR=322V，即2hR。可以判断()SR只有一个极值点，且是最小值点。答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省。用心爱心专心例3．酒杯的形状为倒立的圆锥。杯深8cm，上口宽6cm，水以320/cms的流量倒入杯中，当水深4cm时，求水升高的瞬时变化率。解：设时刻t秒时，杯中水的体积是V，水面半径为r，水深为h，则332064Vht33336464206420333Vtht，∴2336420133ht当水深4hcm，320t，2334202042080()333339h答：当水深4cm时，求水升高的瞬时变化率为809。2．练习：五．回顾小结：求实际问题的最大值和最小值的一般步骤。六．课外作业：用心爱心专心
