椭圆及其标准方程本讲主要内容1．掌握椭圆的定义和根据椭圆的定义推求椭圆标准方程的方法.2．掌握椭圆的标准方程.3．掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程.学习指导1．本讲的重点、难点.重点：椭圆的定义及其有关概念、椭圆的标准方程.难点：分清椭圆两种标准方程的不同形式与椭圆的关系.2．学好这部分内容的关键.关键是掌握椭圆的定义、有关概念、标准方程与椭圆图形的对应关系.3．学好椭圆的标准方程时,要注意些什么？(1)把椭圆的位置特征与标准方程的形式统一起来,椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定.即：如果椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,那么这个位置是标准位置,此时由于长轴也在x轴上,半长轴的平方a2是方程中含项的分母,所以方程为；如果椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,那么这个位置也是标准位置,此时由于长轴在y轴上,半长轴的平方a2是方程中含项的分母,所以方程为.(2)求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面,“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置,在中心是原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式；“定量”则是指确定a、b的具体数值,常用待定系数法.注意：若已知条件给出了椭圆的焦点在x轴或在y轴上,则椭圆的标准方程仅取一种形式,若已知条件给出了椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,则椭圆的标准方程应取两种形式.例题精讲例1：求以圆x+y-2x-8=0的圆心为右焦点,此圆与y轴的交点为顶点的椭圆的方程.[分析]由题意应先求出圆心的坐标从而确定焦点的位置,以便你确定所求的椭圆的标准方程的形式,同时借助此圆与y轴的交点坐标,求出椭圆的方程.[解]将圆x+y-2x-8=0的方程整理得(x-1)+y=9,∴圆心坐标为(1,0),与y轴交点的坐标为(0,2).由题意所求椭圆的标准方程为+=1,且c=1,b=2,∴a=b+c=9,∴所求椭圆方程为+=1.[解题后的点拨]求椭圆方程时首先应由已知条件确定焦点的位置,从而确定所求的标准1方程为哪种形式,然后再确定a、b值.例2．已知椭圆的焦点在x轴上,长轴长2a是短轴长2b的3倍,且过点P(3,2),求椭圆的标准方程.[分析]由题意设椭圆的标准方程为,运用待定系数法,借助题中的两个条件求出a、b的值,从而求出其标准方程.[解]设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则有把①代入②,得,∴.解得b=5,a=45.从而所求椭圆的方程为.[解题后的点拨]这里运用的待定系数法,它经历了确定方程的结构形式,列出a、b的两个方程和求解三个步骤,求解时,不把②式作去分母处理,而用换元法把看作一个整体,这种方法在今后解题时要注意运用.例3．在ΔABC中,BC=24,AC、AB的两条中线之和为39,求ΔABC的重心轨迹方程.[分析]由题意应先建立适应的坐标系,以BC所在的直线为x轴,BC的中垂线为y轴,由题意所求点的轨迹为椭圆且焦点在x轴上.[解]以BC所在直线为x轴,BC的中垂线为y轴建立直角坐标系,M为重心,则×39=26,由椭圆定义可知点M的轨迹为以B、C为焦点的椭圆且2a=26,c=12,∴b=a-c=169-144=25.故所求的椭圆方程为1(y0).[解题后的点拨]在解析几何里,求符合条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系.本题应注意用定义解题,求出方程,要根据题意检查方程的曲线上的点是否符合题意,要把不符合题意的点去掉.例4．一条线段AB的长等于2a,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动,点M在AB上且AM：MB=1:2,求点M的轨迹方程,并判断轨迹是什么？[分析]本例与上例不同之处在于,点M的轨迹不能由题设直接确定是什么曲线,故用求曲线方程的一般方法先求曲线的方程,再确定轨迹.[解]设点M的坐标为(x,y),A的坐标为(,0),B的坐标为(0、y1). ,2①②由线段的定比分点坐标公式可得：又 ,即,∴,将代入得,,整理得,5.∴所求的点M的轨迹方程是,轨迹是椭圆.[解题后的点拨]本题有两个关键性的条件,由,可求出x1,y1所满足的方程,由AM:MB=1:2,借助定比分点公式例出x与x1,y与y1之间的关系,代入上述方程,从而求出点M的轨迹方程,这种间接求轨迹方程的方法在这们解题时经常运用,大家要注意这方面的练习.基础性训练题一．选择题:1．动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和是8,则动点P的轨迹方程为()．A．椭圆B．直线F1F2C．线段F1F2D．不能确定2．若椭圆上有一点P到左焦点F1的距离为1,F2是右焦点,那么值为()．A．3：1B．4：1C．5：1D．6：...
