云南省陇川县高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案新人教版必修4一、内容及其解析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目的1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；三、教学重点难点重点：平面向量数量积的含义与物理意义，性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四:教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积用心爱心专心1SFα2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量︱a︱·︱bb︱cos叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cos（2）定义说明：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°a·b的符号例1：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°，∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝０；③当a与b的夹角是60°时，有用心爱心专心2a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.变式：对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角。探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│b│cos（│a│cos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做：OB1=︱│b│︱cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cos的乘积。3.研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质用心爱心专心3设和b都是非零向量，则1、⊥·=02、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，︱·︱=-︱︱︱︱，特别地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤︱︱×︱︱A©¦b©¦cos¦ÁB1BO3.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否...
