江西乐安一中高二数学 05两条直线的位置关系培优教案VIP专享VIP免费

两条直线的位置关系[本讲主要内容]1．两条直线平行的条件：(1).两条直线都无斜率且不重合，则这两条直线直线平行.(2).两条直线都有斜率且不重合，如果它们平行则斜率相等；反之，如果它们的斜率相等则它们平行，即：l1║l2k⇔1=k22.两条直线垂直的条件：(1).一条直线没有斜率，另一条直线斜率为0，则这两条直线垂直.(2).两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数，反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即：l1⊥l2k⇔1=-或l1⊥l2k⇔1k2=-13.直线l1到l2的角，指的是直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时转的角，它的范围是(0,)4.直线l1与l2的夹角，指的是直线l1与l2相交，形成的直线到直线的角中，不大于直角的角又称为l1和l2所成的角，它的范围是(0,].5.设两条直线l1,l2的斜率为k1,k2,θ1为l1到l2的角，θ为l1与l2的夹角，则有下列公式：(1)l1到l2的角公式为：tanθ1=(1+k1k2≠0)(2)l1与l2的夹角公式：tanθ1=||(1+k1k2≠0)6．对于由两条直线l1与l2的方程组成的方程组(1)若以上方程组有唯一的解，则两直线l1,l2为相交，且方程组的解为交点的坐标.(2)若方程组无解，则两直线平行.(3)若方程组有无穷多解，则两直线重合，以上条件反之也对.7．设两直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,且A1B1A2B2全不为零，则两直线l1,l2相交、平行、重合的条件分别是：(1)若则l1,l2相交1A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0(2)若则l1,l2平行(3)若或且C1=C2=0时，则两直线重合.[学习指导]1.研究两条直线平行、垂直的方法有两种：①从研究特点出发，即②从数量关系出发，即设l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,(B1·B2≠0)2.l1到l2的角，表明这个角有方向性,l1与l2的夹角是没有方向性的.3.使用两条平行直线的距离公式时，要注意这个公式只有只有当两条直线方程中x,y项系数对应相等时，才能使用，否则要进行调整.例如：l1:3x-y+1=0l2:6x-2y+5=0l1:6x-2y+2=0l2:6x-2y+5=0d=4.注意轴对称的问题，若A,B两点关于直线l成轴对称，应善于把轴对称的几何性质：(1)AB⊥l,(2)l平分线段AB，转化为代数条件：(1)kAB·kl=-1,(2)AB中点坐标满足l方程.[例题精讲]例1．已知两条直线l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:2mx+4y+16=0当m为何值时，l1与l2(1)l1⊥l2(2)l1║l2(3)l1,l2重合.[分析及解]此题易想到(1)k1k2=-1(2)k1=k2即运用直线的斜截式y=kx+b,这时要注意此式不包含无斜率的直线.所以，在讨论k1,k2时应在k1,k2存在的前提下，即，当1+m≠0,即m≠-1时.2两条直线l1,l2平行垂直l1,l2的倾斜角的关系l1,l2的斜率的关系l1∥l2方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0无解212121CCBBAAl1⊥l2A1A2+B1B2=0k1·k2=-1直线l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=-.∴当k1k2=-1即即m=-时，l1⊥l2；当k1=k2即-，即m=1或m=-2,其中m=1时，l1:x+2y-1=0,l2:2x+4y+16=0平行.当m=-2时，l1:x-y-4=0,l2:4x+4y+16=0重合特别地，当m=-1时，l1：x=3l2：x-2y-8=0此时l1与l2斜交.综上所知，当m=时,l1⊥l2；当m=1时，l1∥l2；当m=-2时，l1,l2重合.例2.求经过点p(2,3)且被两条平行直线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得线段长为的直线方程.[分析及解]本题所求直线过点p(2,3),可考虑设直线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+(3-2k)=0易求两平行线间距离d=,由已知所求直线被两直线截得线段长为，设求得所求直线与两平行直线间夹角为θ,则sinθ=,∴θ=∴tanθ=解得k=或-7.所以所求直线方程为x2-7y+19=0或7x+y-17=0.此题利用解直角三角形，将问题转化为两直线的夹角问题，避免了复杂运算，但要注意无斜率的直线，即x=3是否符合题意，当x=3时，直线与两平行直线的交点分别为A(3,),B(3,-)..所以，直线x=3非所求.例3.(1)求直线l1：x+2y-5=0关于点p(-3,2)的对称直线l2的方程；(2)求点p(2,3)关于直线l：2x-y-4=0的对称点θ.(3)求直线l1：x+7y-6=0关于直线l：x+y-2=0的对称直线l2的方程.[分析及解]对称问题主要有两类：点对称和轴对称.(1)若两点A,B关于点p对称，则p是线段的中点；若两个图形C1,C2关于点p对称，则C1上任一点关于点p的对称点必在C2上，反过来，C2上任一点关于点p的对称点也必在C1上.设M(x,y)为直线l2上任一点，且M点关于点p的对称点为N(x0,y0),则根据中点坐标...