数学湘教版必修2第4章向量单元检测(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．(浙江台州高一期末检测)下列向量是单位向量的是()A．a＝B．a＝(1,1)C．a＝(1，sinα)D．a＝(cosα，sinα)2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于()A．(－2,6)B．(－4,0)C．(7,6)D．(－2,0)3．在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则·的值为()A．B．5C．D．－54．(山东兖州高一模拟)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，－3)，若a∥b，则tanθ的值等于()A．B．C．－1D．15．已知D是△ABC所在平面内一点，＝＋，则()A．＝B．＝C．＝D．＝6．(山东潍坊高一期中检测)对于向量a，b，e及实数x，y，x1，x2，λ，给出下列四个条件：①a＋b＝3e且a－b＝5e；②x1a＋x2b＝0；③a＝λb(b≠0)且λ唯一；④xa＋yb＝0(x＋y＝0)．其中能使a与b共线的是()A．①②B．②④C．①③D．③④7．(辽宁大连高一期末检测)设a＝(－3，m)，b＝(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范围是()A．m≠4且B．m＜4且C．m＞4D．m＜48．过点M(3,0)的直线交圆x2＋y2－4x＝0于A，B两点，C为圆心，则·的最大值等于()A．B．C．2D．－2二、填空题(每小题5分，共15分)9．(江苏灌云高一检测)已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝__________.10．已知定义|a×b|＝|a||b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角．若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－4，则|a×b|＝__________.11．(福建师大附中高一检测)如图，在正六边形ABCDEF中，有下列三个命题：①＋＝2；②＝2＋2；③·＝·.其中真命题的序号是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(每小题15分，共45分)12．(山东烟台高一检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)．(1)求|2a－4b|；(2)若ka＋2b与2a－4b平行，求k的值；(3)若ka＋2b与2a－4b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．13．如图，PQ过△OAB的重心G，＝a，＝b，＝ma，＝nb.求证：.14．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t为实数)．(1)若，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a－b和向量m的夹角为，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：D解析：只有在D项中，|a|＝＝1，是单位向量．2.答案：D解析：依题意得c＝a＋b＝(－5,6)＋(－3，2)＝(－2,0)．3.答案：D解析：·＝||·||cos〈·〉＝5×2×cos120°＝－5.4.答案：C解析：由a∥b得－3sinθ＝cosθ－2sinθ，于是－sinθ＝cosθ，故tanθ＝＝－1.5.答案：A解析：由＝＋，得＋＝＋，因此－＝－，所以＝，即＝.6.答案：C解析：由a＋b＝3e和a－b＝5e可得a＝4e，b＝－e，显然a与b共线，故①正确；③显然正确，故选C．7.答案：B解析：因为a与b的夹角是钝角，所以a·b＜0，即3m－12＜0，解得m＜4，但当a与b共线时，有－9＝4m，解得，且这时a与b反向共线，夹角是π，不合题意，故实数m的取值范围是m＜4且.8.答案：D解析：由已知得圆的半径为2，圆心坐标为(2,0)，所以·＝·＝2×2×cos∠ACB．因为直线过点M(3,0)，所以当该直线与CM垂直时，∠ACB最小，等于120°，这时cos∠ACB取到最大值，所以·的最大值等于2×2×＝－2.9.答案：2解析：依题意2a－b＝(3，n)，由于2a－b与b垂直，所以－3＋n2＝0，解得n2＝3，于是|a|＝＝2.10.答案：解析：由于a·b＝|a|·|b|cosθ，所以.又θ∈[0，π]，于是，故|a×b|＝|a||b|sinθ＝2×3×＝.11.答案：①②解析：由于+==2，所以①正确；设正六边形中心为O，则=2=2(+)，即=2+2，所以②正确；由于·－·=·(－)=·=2||2＞0，所以不可能有·=·，故③错误．12．解：(1)∵2a－4b＝(14，－4)，∴|2a－4b|＝.(2)∵ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，且ka＋2b与2a－4b平行，∴14(2k＋4)＋4(k－6)＝0，即32k＋32＝0，∴k＝－1.(3)∵ka＋2b与2a－4b的夹角是钝角，∴(ka＋2b)·(2a－4b)＜0且k≠－1，即14(k－6)－4(2k＋4)＜0且k≠－1，∴且k≠－1.13.证明：∵M是AB边的中点，∴＝(＋)＝(a＋b)．∴＝＝·(a＋b)＝a＋b.∴＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b.∵∥，∴.整理得mn＝(m＋n)，即.14.解：(1)因为，b＝，a·b＝，则＝，所以当时，|m|取到最小值，最小值为.(2)由条件得，又因为|a－b|＝，|a＋tb|＝，(a－b)·(a＋tb)＝5－t，则有，且t＜5，整理得t2＋5t－5＝0，所以存在满足条件．
