讲末质量评估(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是()．A．(a＋b＋c)2≥3B．a2＋b2＋c2≥2C.≤＋＋2D．a＋b＋c≤解析用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)易得．答案A2．若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为()．A．16B．8C．4D．非上述情况解析y＝x＋＋，令t＝x＋>2(因x>1)．∴y＝t≥＋2＝8.当且仅当t＝，即t＝4时取等号．答案B3．设a，b，c，d∈R，m＝＋，n＝，则m与n的大小关系是()．A．mnC．m≤nD．m≥n解析m≥＝＋＝n.答案D4．设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋d≥0恒成立时，d的取值范围是()．A．[＋1∞，＋)B．(∞－，－1]C．[－1∞，＋)D．(∞－，＋1]解析运用三角换元法．令x＝cosθ，y－1＝sinθ，∴x＋y＝sinθ＋cosθ＋1＝sin＋1，从而1≤－x＋y≤1＋，故d≥－(x＋y)恒成立，必有d≥－(1－)＝－1.答案C5．已知＋＝1(a＞b＞0)，设A＝a2＋b2，B＝(x＋y)2，则A、B间的大小关系为()．A．ABC．A≤BD．A≥B解析A＝a2＋b2＝1·(a2＋b2)＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2＝B.即A≥B.答案D6．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是()．A．2B.C.D.解析(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，≤因此，＋＋.当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时取等号．答案C7．已知a，b，c∈R＋，A＝a3＋b3＋c3，B＝a2b＋b2c＋c2a，则A与B的大小关系为()．A．A≥BB．A≤BC．A＝BD．A与B的大小不确定解析取两组数：a，b，c与a2，b2，c2，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，即A≥B.答案A8．函数y＝3＋4的最大值为()．A.B．5C．7D．11解析函数的定义域为[5,6]，且y>0.y＝3×＋4×≤×＝5.当且仅当＝.即x＝时取等号．所以ymax＝5.答案B9．设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最小值为()．A.B.C．1D.解析由柯西不等式(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2，因为a＋b＋c＋d＝1，于是由上式得4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，于是a2＋b2＋c2＋d2≥，当且仅当a＝b＝c＝d＝时取等号．答案B10．设a1，a2，a3为正数，m＝＋＋，n＝a1＋a2＋a3，则m与n的大小关系为()．A．m≤nB．m≥nC．m>nD．m＝n解析不妨设a1≥a2≥a3>0≤≤，于是，a2a3≤a3a1≤a1a2.≥由排序不等式：顺序和乱序和，得：≥＋＋·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a1＋a2＋a3.故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)11．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是________．解析 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋，∴≥＋＋3＋2＋2＋2＝9，≥则＋＋9＋1＝10.答案1012．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则＋的最小值为___________________________________________________________．解析＋＝(2x＋y)＝[()2＋()2]·≥2＝(＋1)2＝，当且仅当·＝·，即x＝y时取等号．答案(3＋2)13．设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a1a2＋a2a3＋a3a1的最大值为________．解析由柯西不等式，(a＋a＋a)(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，于是a＋a＋a≥.故a1a2＋a2a3＋a3a1＝[(a1＋a2＋a3)2－(a＋a＋a)]＝×22－(a＋a＋a)≤2－×＝.答案14．函数y＝cos2x(1＋sinx)的最大值为__________.解析y＝(1－sin2x)(1＋sinx)＝(1－sinx)(1＋sinx)·(1＋sinx)＝4(1－sinx)··≤43＝4×＝等号成立⇔1－sinx＝⇔sinx＝.答案三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)(1)已知：a，b∈R＋，a＋b＝4≥，证明：＋1；(2)已知：a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝9≥，证明：＋＋1，并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．证明(1)根据柯西不等式：(a＋b)≥2＝4， a＋b＝4，∴≥＋1.(2)根据柯西不等式：(a＋b＋c)≥2＝9， a＋b＋c＝9，∴≥＋＋1.可以推广：若a1＋a2…＋＋an＝n2，…≥则＋＋＋1.16．(10分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1.≤求证：＋2.证明由柯西不等式得：(·1＋·1)2≤(2a＋1＋2b＋1...
